Problema 3 · Dibujo técnico II PAU Valencia Ordinaria 2021

3. Determine: a) El otro foco F', b) Los vértices A y B, c) Las asíntotas, d) La rama de la hipérbola en la que está situado M con 4 puntos.

Solución: Construcción gráfica de la hipérbola: 1. Foco $F'$: - Hallar el simétrico $F_1$ del foco $F$ respecto a la tangente $t_M$. - Trazar la recta que une $M$ con $F_1$. La intersección de esta recta con la recta soporte $r$ determina el segundo foco $F'$. 2. Vértices $A$ y $B$: - La distancia focal es el segmento $FF'$. - La constante de la hipérbola es $2a = |MF' - MF| = |MF_1 - MF| = F'F_1$. - El centro $O$ de la hipérbola es el punto medio del segmento focal $FF'$. - A partir del centro $O$ y sobre el eje focal $r$, se traslada la distancia $a = \frac{2a}{2}$ a ambos lados para obtener los vértices $A$ y $B$. 3. Asíntotas: - Trazar la circunferencia principal de centro $O$ y diámetro $2a$ (radio $a$). - Trazar perpendiculares al eje focal por los vértices $A$ o $B$ hasta cortar a la circunferencia de diámetro $FF'$ (radio $c$), o bien desde los focos trazar tangentes a la circunferencia principal para obtener la semidistancia focal menor $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. - Dibujar las dos rectas asíntotas que pasan por el centro $O$ con pendientes $\pm \frac{b}{a}$. 4. Trazado de la rama con 4 puntos: - Tomar puntos auxiliares 1, 2, 3... sobre el eje $r$ a la derecha del vértice correspondiente a la rama de $M$. - Con centros en $F$ y $F'$, trazar arcos de radios correspondientes para obtener 4 puntos de la curva y trazar la rama que pasa por $M$.