Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Extremadura 2022 · Ordinaria

PROBLEMA 1 (2 puntos)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$.

Calcular la matriz $X$ solución de la ecuación matricial $A\cdot X + C = B^t - 2\cdot X$ donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. Justificar la respuesta.

Columna 1

Columna 2

Columna 3

Sea $A$ la matriz siguiente:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & x & 0 \\ -x & 3 & -2 \end{pmatrix}$$

Se pide, justificando las respuestas:

a)

Determinar para qué valores de $x$ no existe la matriz inversa de $A$. [1 punto]

$x_1 =$

$x_2 =$

b)

Calcular la inversa de $A$ para $x = 2$. [1 punto]

PROBLEMA 3 (2 puntos)

Resolver, justificando la respuesta, el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} 3x + 2y + z = -3 \\ x + y - 2z = -3 \\ 4x + 3y + 2z = -3 \end{cases}$$

$x =$

$y =$

$z =$

PROBLEMA 4 (2 puntos)

En un taller de decoración se venden espejos y cuadros con un beneficio de 120 euros por cada espejo y 180 euros por cada cuadro. Dispone para la venta de 45 artículos en total entre ambos productos que, previamente, ha fabricado necesitando 1 hora para la fabricación de cada espejo y 4 horas para elaborar cada cuadro, con una disponibilidad de, como mucho, 60 horas.

Calcula el número de espejos y cuadros que debe vender para hacer máximos los beneficios así como el valor de dichos beneficios máximos.

espejos

cuadros

Los beneficios de una empresa (en miles de euros) $B(t)$ durante los primeros 10 años dependen del tiempo transcurrido $t$ (en años) desde su creación según la función:

$$B(t) = \begin{cases} t^2 - 8t + 2A & 1 \le t < 6 \\ Bt & 6 \le t \le 10 \end{cases}$$

Calcular, razonando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la función $B(t)$ es continua y que en el año 8 obtuvo unos beneficios de 16 mil euros.

a)

b)

El precio de cierto perfume, $P(x)$, (en euros) depende del porcentaje que contiene de la esencia de cierta flor, $x$, (en tanto por ciento), de acuerdo con la función:

$$P(x) = 4x^3 - 6x^2 - 24x + 90, \quad 0 \le x \le 4$$

Se pide determinar, razonando las respuestas, para qué porcentajes alcanza este perfume sus precios máximo y mínimo y a cuánto ascienden estos precios.

a)

b)

PROBLEMA 7 (2 puntos)

a)

Determinar, razonando la respuesta, el área encerrada por la función $f(x) = -x^2 + x$ y el eje OX entre $x = 0$ y $x = 2$.

PROBLEMA 7 (2 puntos)

b)

Determinar, razonando la respuesta, las asíntotas de la función:

$$g(x) = \frac{3 - 2x^2}{-x^2 + x}$$

PROBLEMA 8

En un quiosco de prensa, el 50% de los clientes compra prensa deportiva, el 15% prensa nacional y el resto prensa regional. El 20% de los clientes de prensa deportiva, el 40% de los de prensa nacional y el 60% de los de prensa regional son mujeres. Se pide, razonando la respuesta:

a)

Calcular la probabilidad de que un cliente de dicho quiosco sea mujer.

b)

Calcular la probabilidad de que un cliente, que sabemos que es un hombre, compre prensa regional.

PROBLEMA 9

El contenido de verdura de los botes de una marca de purés para bebés es una variable que se supone con distribución normal con desviación típica 23 gramos. Se seleccionan al azar 121 botes, registrándose el contenido en verdura de dichos botes, resultando una media de 146 gramos. Hallar un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%, para la cantidad media de verduras que contienen dichos botes de puré. Razona la respuesta.

PROBLEMA 10

Una cadena de supermercados tiene en plantilla 3000 cajeros, 4000 reponedores y 1000 transportistas. Se desea obtener una muestra de 200 trabajadores para una encuesta sobre la satisfacción con el puesto de trabajo. Se pide, razonando las respuestas:

a)

Atendiendo a razones de proporcionalidad, ¿cuántos cajeros, reponedores y transportistas debería seleccionar la empresa para la encuesta?

b)

Si 30 de los cajeros encuestados estaban satisfechos con su trabajo, dar una estimación de la proporción de cajeros satisfechos con su puesto de trabajo.