Ejercicio E2 · Matemáticas II PAU Castilla y León Ordinaria 2024

Enunciado

E2.- (Álgebra)

Sean $a \in \mathbb{R}$ y $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ .

Calcular el determinante y el rango de $M$ para cada valor $a \in \mathbb{R}$ .

Para $a = 0$ , calcular el determinante de la matriz $P$ cuando $2PM = M^3$ .

Enunciado: Ejercicio E2 · Matemáticas II PAU Castilla y León Ordinaria 2024

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determinante de M en función de a

Solución: -a^2 + 3a - 2 / -(a-1)(a-2)

a) Rango de M para cada valor de a

Solución: Si a ≠ 1 y a ≠ 2: rg(M) = 3. Si a = 1 o a = 2: rg(M) = 2.

b) Determinante de la matriz P para a = 0

Solución: 1/2 / 0.5

b) Justificación del cálculo de det(P)

Solución: det(2PM) = 2^3 det(P) det(M) = det(M)^3 => 8 det(P) = det(M)^2 => det(P) = (-2)^2 / 8 = 4/8 = 1/2

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