Ejercicio P5 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares Ordinaria 2024

P5. — Segons un model, la població d'una determinada ciutat, $p$ (en milions d'habitants), depèn del temps que ha passat, $t$ (en anys), des del començament de l'any 2000, segons la relació

$$p(t) = \frac{4}{1 + 3\cdot e^{-0.2t}}, \quad \text{per a } t \ge 0.$$

Et proporcionam la següent informació, que pots utilitzar si ho consideres oportú:

$$p'(t) = \frac{2.4\cdot e^{-0.2t}}{(1 + 3\cdot e^{-0.2t})^2}, \quad \int p(t)\,dt = 20\cdot \ln(e^{0.2t} + 3) + C, \text{ per a qualsevol constant } C \in \mathbb{R}.$$

a)

Quina població teníem al començament de l'any 2000 (és a dir, per a $t = 0$)? Quin any vàrem tenir exactament 2 milions d'habitants?

b)

En quins intervals la població augmenta? En quins disminueix?

c)

A què tendeix la població de la ciutat a llarg termini? A què tendeix el ritme de creixement de la població a llarg termini?