Ejercicio P5 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares Extraordinaria 2023

Tema: Funciones en contexto: modelos, tendencia a largo plazo y optimización · Del examen Extraordinaria (2023)

Enunciado

P5. — Una maleta rectangular té tres mesures (amplada, alçària i profunditat), i el seu volum és el producte de les tres mesures. Volem dissenyar una maleta rectangular de 30 cm de profunditat, i tal que la suma de l'amplada, l'alçària i la profunditat sigui exactament 110 cm. Quin és el volum màxim que pot tenir aquesta maleta? [10 pt]

Enunciado: Ejercicio P5 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares Extraordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Procediment i justificació del càlcul del volum màxim

Solución: Funció volum: V(x)=x(80−x)30=−30x2+2400xV(x) = x(80 - x)30 = -30x^2 + 2400x. Derivada: V′(x)=−60x+2400=0  ⟹  x=40V'(x) = -60x + 2400 = 0 \implies x = 40. V′′(40)=−60<0V''(40) = -60 < 0 (màxim). y=80−40=40y = 80 - 40 = 40. V(40)=48 000 cm3V(40) = 48\,000\text{ cm}^3.

Amplada (xx) que maximitza el volum

Solución: 40 cm

Alçària (yy) que maximitza el volum

Solución: 40 cm

Quin és el volum màxim que pot tenir aquesta maleta?

Solución: 48000 cm³

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