Ejercicio 3 (b) - Identidad trigonométrica · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2024

(b) Sabiendo que sen(2x) = 2sen(x)cos(x), demuestra que cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x).

Solución: Derivando ambos miembros de $\operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen}(x)\cos(x)$ respecto a $x$: $$(\operatorname{sen}(2x))' = (2\operatorname{sen}(x)\cos(x))'$$ $$2\cos(2x) = 2(\cos(x)\cos(x) + \operatorname{sen}(x)(-\operatorname{sen}(x)))$$ $$2\cos(2x) = 2(\cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x))$$ Dividiendo entre 2 en ambos lados: $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x)$$