Ejercicio 4 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía Extraordinaria Suplente 2022

Tema: Análisis · Del examen Extraordinaria Suplente (2022)

Enunciado

BLOQUE B

EJERCICIO 4

Se considera la función

f(x)={ax2+bx+2si x≤14x+1si x>1f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 2 & \text{si } x \le 1 \\ \dfrac{4}{x + 1} & \text{si } x > 1 \end{cases}

con aa y bb números reales.

a)

[1 punto] Calcule aa y bb para que la función ff sea continua y derivable.

a=a =

b=b =

b)

[0.75 puntos] Para a=−1a = -1 y b=1b = 1, realice un esbozo de la gráfica de la función ff.

c)

[0.75 puntos] Para a=−1a = -1 y b=1b = 1, halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de ff, la recta x=1x = 1 y el eje OXOX.

Enunciado: Ejercicio 4 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía Extraordinaria Suplente 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) [0.5 puntos] Valor de a para continuidad y derivabilidad

Solución: -1

a) [0.5 puntos] Valor de b para continuidad y derivabilidad

Solución: 1

b) [0.75 puntos] Para a = -1 y b = 1, realice un esbozo de la gráfica de la función f.

Solución: Gráfica de la función con dos ramas unidas suavemente en (1,2)(1, 2): 1. Rama x≤1x \le 1: parábola cóncava hacia abajo y=−x2+x+2y = -x^2 + x + 2, con vértice en (0,5;2,25)(0{,}5; 2{,}25), corte con eje OYOY en (0,2)(0, 2) y cortes con el eje OXOX en x=−1x = -1 y x=2x = 2 (este último fuera de su dominio). 2. Rama x>1x > 1: hipérbola decreciente y=4x+1y = \frac{4}{x + 1} con asíntota horizontal y=0y = 0 cuando x→+∞x \to +\infty.

c) [0.75 puntos] Para a = -1 y b = 1, halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de f, la recta x = 1 y el eje OX.

Solución: 9/2 / 4.5

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