EJERCICIO 3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía Ordinaria Titular 2023

a) Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de $f$ y su curvatura.

Solución: Puntos de corte: $(0,0)$, $(1,0)$ y $(2,0)$. Crecimiento: $\left(-\infty, 1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)$. Decrecimiento: $\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Máximo relativo en $\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$ y mínimo relativo en $\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$. Cóncava hacia abajo en $(-\infty, 1)$ y cóncava hacia arriba en $(1, +\infty)$, con punto de inflexión en $(1,0)$.

b) Represente gráficamente la función $f$.

Solución: Gráfica de una función cúbica impar respecto al punto de inflexión $(1,0)$, que pasa por $(0,0)$, $(1,0)$ y $(2,0)$, con un máximo relativo en $\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$ y un mínimo relativo en $\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$.

c) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas.

Solución: 1/2 / 0.5