Ejercicio 3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía Extraordinaria Titular 2022

a) Determine el valor de b para que f presente un extremo en x = 1/3 y pase por (-2, -3)

Solución: $1$

a) Determine el valor de c para que f presente un extremo en x = 1/3 y pase por (-2, -3)

Solución: $-1$

b) Realice el esbozo de la gráfica de g(x) = -x³ - x² + x + 1, estudiando puntos de corte y monotonía

Solución: Puntos de corte: - Con el eje $OX$: factorizando $-x^3 - x^2 + x + 1 = -(x+1)^2(x-1) = 0$, obtenemos los puntos $(-1, 0)$ y $(1, 0)$. - Con el eje $OY$: $g(0) = 1$, punto $(0, 1)$. Monotonía y extremos: - Derivada: $g'(x) = -3x^2 - 2x + 1 = 0 \implies 3x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x = -1$ y $x = \frac{1}{3}$. - Intervalos de monotonía: - $(-\infty, -1)$: $g'(x) < 0$, decreciente. - $\left(-1, \frac{1}{3}\right)$: $g'(x) > 0$, creciente. - $\left(\frac{1}{3}, +\infty\right)$: $g'(x) < 0$, decreciente. - Extremos relativos: - Mínimo relativo en $(-1, 0)$. - Máximo relativo en $\left(\frac{1}{3}, \frac{32}{27}\right)$. Esbozo: Curva cúbica que parte desde $+\infty$, decrece hasta el mínimo en $(-1,0)$ donde es tangente al eje $OX$, cruza el eje $OY$ en $(0,1)$, alcanza el máximo en $(1/3, 32/27)$, y desciende cruzando el eje $OX$ en $(1,0)$ hacia $-\infty$.

b) Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función g y el eje de abscisas

Solución: $\frac{4}{3}$ / $1{,}33$