Bloque II - Ejercicio 1 · Dibujo técnico II PAU Andalucía Extraordinaria Suplente 2024

Dadas las circunferencias C1, C2 y C3, obtener el punto T, el centro radical y trazar las circunferencias tangentes a C1, C2 y C3 en T.

Solución: 1. Punto de tangencia $T$ entre $C_2$ y $C_3$: El punto $T$ es la intersección del segmento que une los centros $O_2$ y $O_3$ con ambas circunferencias (alineación $O_2-T-O_3$). 2. Centro radical $Cr$ de las tres circunferencias: - Eje radical $e_{23}$ (de $C_2$ y $C_3$): recta perpendicular al segmento $O_2O_3$ trazada por el punto de tangencia $T$ (tangente común en $T$). - Eje radical $e_{12}$ (de $C_1$ y $C_2$): recta que une los dos puntos de intersección entre las circunferencias secantes $C_1$ y $C_2$. - Centro radical $Cr$: punto de intersección de las rectas $e_{23}$ y $e_{12}$ ($Cr = e_{23} \cap e_{12}$). 3. Circunferencias tangentes solución: - Como las circunferencias buscadas son tangentes a $C_2$ y $C_3$ en $T$, sus centros $O_{s1}$ y $O_{s2}$ deben situarse sobre la recta normal común, es decir, sobre la recta que une los centros $O_2$ y $O_3$. - La potencia del centro radical $Cr$ respecto a las soluciones es la misma que respecto a $C_2$ y $C_3$, es decir, $\text{Pot}(Cr) = (Cr-T)^2$. - Por tanto, las tangentes trazadas desde $Cr$ a la circunferencia $C_1$ tendrán una longitud igual a $Cr-T$. Trazando el arco con centro en $Cr$ y radio $Cr-T$, este cortará a la circunferencia $C_1$ en los dos puntos de tangencia buscados, $T_{1a}$ y $T_{1b}$ (o bien trazando el arco capaz de $90^\circ$ sobre $Cr-O_1$ para hallar las tangentes a $C_1$ desde $Cr$). - Los centros de las soluciones se hallan uniendo $O_1$ con cada uno de los puntos de tangencia hallados ($T_{1a}$ y $T_{1b}$) y prolongando hasta cortar a la recta $O_2O_3$: - $O_{s1} = O_2O_3 \cap O_1T_{1a}$ - $O_{s2} = O_2O_3 \cap O_1T_{1b}$ - Se trazan las dos circunferencias con centros $O_{s1}$ y $O_{s2}$ y radios $O_{s1}T$ y $O_{s2}T$, respectivamente.