Bloque B - Ejercicio 1 · Dibujo técnico II PAU Andalucía Ordinaria Titular 2021

1. Determinar el centro O y los vértices V y V' de la cónica. 2. Dibujar la hipérbola. 3. Trazar la tangente y la normal en el punto P de la cónica que se encuentra a 20 mm de F y más cercano al borde superior de la lámina.

Solución: Construcción gráfica de la hipérbola equilátera y sus elementos: 1. Centro y vértices: - El centro $O$ es el punto medio del segmento focal $FF'$ (se obtiene con la mediatriz). - Semidistancia focal: $c = OF = OF'$. En la hipérbola equilátera $a = b$, luego $c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2 \implies a = \frac{c}{\sqrt{2}}$. - Se construye un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa $c = OF$; su cateto mide $a$. Llevando $a$ a ambos lados de $O$ sobre la recta focal se obtienen $V$ y $V'$. 2. Trazado de la cónica: - Las asíntotas pasan por $O$ a $45^\circ$ del eje real. - Los puntos de ambas ramas se obtienen cortando arcos de centros $F$ y $F'$ con radios $V1, V'1$; $V2, V'2$, etc. 3. Punto $P$, tangente y normal: - Como $PF = 20\text{ mm}$ y $|PF' - PF| = 2a$, la distancia al otro foco es $PF' = 2a + 20\text{ mm}$. - Se cortan el arco de centro $F$ y radio $20\text{ mm}$ con el de centro $F'$ y radio $2a + 20\text{ mm}$; el corte del semiplano superior es $P$. - La tangente en $P$ es la bisectriz del ángulo interior $\angle FPF'$ formado por los radio-vectores $PF$ y $PF'$. - La normal es la perpendicular a la tangente en $P$, es decir, la bisectriz del ángulo formado por un radio-vector y la prolongación del otro.