Pregunta 3 · Álgebra UOC 2021

Tema: Coordenadas, cambio de base y ortogonalidad · Del examen Examen ordinario enero 2021 (2021)

Enunciado

Pregunta 3 (25% del total). Subespacios vectoriales y cambio de base

En el espacio vectorial R4\mathbb{R}^4 se define el subespacio EE de dimensión 3 mediante:

E={(a1,a2,a3,a4)∈R4∣a1−2a3=0}E = \{(a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb{R}^4 \mid a_1 - 2a_3 = 0\}

y se considera el vector v=(−4,6,−2,2)v = (-4, 6, -2, 2).

a)

Verifica que el conjunto de vectores A={(2,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}A = \{(2,0,1,0), (0,1,0,0), (0,0,0,1)\} conforma una base de EE. ¿Pertenece vv a EE? De ser así, halla las coordenadas de vv referidas a la base AA.

b)

Sean las matrices:

C1=((a−1)(a−3)000(a−5)(a−7)0(a−1)(a−3)(a−5)(a−7)a−9)C_1 = \begin{pmatrix} (a-1)(a-3) & 0 & 0 \\ 0 & (a-5)(a-7) & 0 \\ (a-1)(a-3) & (a-5)(a-7) & a-9 \end{pmatrix}

C2=(a(a−2)(a−4)a(a−6)00a(a−6)a−800a−8)C_2 = \begin{pmatrix} a(a-2)(a-4) & a(a-6) & 0 \\ 0 & a(a-6) & a-8 \\ 0 & 0 & a-8 \end{pmatrix}

donde a∈{0,1,…,9}a \in \{0, 1, \dots, 9\}. ¿Bajo qué condiciones pueden C1C_1 o C2C_2 representar la matriz de cambio de base de una base BB a la base AA? Describe las bases BB resultantes cuando esto sea posible.

Enunciado: Pregunta 3 · Álgebra UOC 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Verifica que el conjunto de vectores A = {(2,0,1,0), (0,1,0,0), (0,0,0,1)} conforma una base de E. ¿Pertenece v a E?

Solución: Comprobación de pertenencia a E: para u_1 = (2,0,1,0), 2 - 2(1) = 0; para u_2 = (0,1,0,0), 0 - 2(0) = 0; para u_3 = (0,0,0,1), 0 - 2(0) = 0. Rango de la matriz formada por los vectores es 3 (linealmente independientes). Por ser 3 vectores l.i. en un subespacio de dimensión 3, A es base. Pertenencia de v = (-4, 6, -2, 2): -4 - 2(-2) = 0, por lo que v pertenece a E.

a. De ser así, halla las coordenadas de v referidas a la base A.

Solución: (-2, 6, 2)

b. ¿Bajo qué condiciones puede C_1 representar la matriz de cambio de base de una base B a la base A?

Solución: a ∈ {0, 2, 4, 6, 8} / a par

b. ¿Bajo qué condiciones puede C_2 representar la matriz de cambio de base de una base B a la base A?

Solución: a ∈ {1, 3, 5, 7, 9} / a impar

b. Describe las bases B resultantes cuando esto sea posible.

Solución: Los vectores de B = {w_1, w_2, w_3} vienen dados por w_j = c_1j u_1 + c_2j u_2 + c_3j u_3 (j = 1, 2, 3), donde (c_1j, c_2j, c_3j)^T es la j-ésima columna de la matriz correspondiente (C_1 para a par, o C_2 para a impar), y u_1 = (2,0,1,0), u_2 = (0,1,0,0), u_3 = (0,0,0,1).

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