Exercici 2 · Matemáticas I UB 2020

a) (1 punt) Sense realitzar cap mena de càlcul operatiu, determineu de forma justificada si la matriu A diagonalitza o no.

Solución: Sí, és una matriu simètrica real ($A^T = A$), per la qual cosa en virtut del teorema espectral és ortogonalment diagonalitzable sobre $\mathbb{R}$.

b) Calculeu el polinomi característic d'A

Solución: $p(\lambda) = -\lambda(\lambda - 3)^2$ / $-\lambda^3 + 6\lambda^2 - 9\lambda$

b) comproveu explícitament que els seus valors propis són 0, 3 i 3.

Solución: $p(0) = 0$ i $p(3) = 0$ amb multiplicitat 2 (les arrels de $p(\lambda) = 0$ són $\lambda_1 = 0$ i $\lambda_2 = \lambda_3 = 3$)

c) (2 punts) Trobeu una base de R^3 formada exclusivament per vectors propis de la matriu A.

Solución: $B = \{(-1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)\}$

d) (1,5 punts) Trobeu una matriu invertible C que compleixi la relació C^(-1) · A · C = diag(3, 0, 3)

Solución: $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$