Examen de Matrices y Vectores UB 2024 · parcial - Novembre 2024

Exercici 1 (30 punts). Polinomis linealment dependents i discussió d'un sistema lineal

a. Considerem els següents polinomis de l'espai vectorial $\mathbb{R}[x]_{\le 3}$:$$\begin{aligned}p(x) &= x^3 - x^2 + 2x + 3, \\ q(x) &= 3x^3 + x^2 - x - 1, \\ r(x) &= x^3 + 2x + 2, \\ s(x) &= 7x^3 + ax^2 + 5,\end{aligned}$$on $a \in \mathbb{R}$. Determineu per a quins valors del paràmetre $a$ el conjunt de polinomis $\{p, q, r, s\}$ és linealment dependent. Per a aquests valors, trobeu explícitament una relació de dependència lineal no nul·la entre ells.

1.

a =

2.

Exercici 1 (30 punts). Polinomis linealment dependents i discussió d'un sistema lineal

b. Es planteja el sistema d'equacions lineals següent:$$\begin{cases} x + y + z = 5 \\ x + 2y + z = 9 \\ x + y + (a^2 - 5)z = a \end{cases}$$Indiqueu per a quins valors de $a$ el sistema admet solució. Per a cadascun d'aquests valors, trobeu el conjunt de solucions corresponent.

1.

$a \neq$

2.

$x =$

$y =$

$z =$

Exercici 2 (10 punts). Caracterització de la unió de subespais vectorials

Siguin $F$ i $G$ dos subespais vectorials d'un mateix espai vectorial $E$. Demostreu que la unió $F \cup G$ és un subespai vectorial d'$E$ si i només si $F \subseteq G$ o $G \subseteq F$.

Exercici 3 (30 punts). Subespais a l'espai de matrius quadrades d'ordre 2

Fixat un paràmetre real $a \in \mathbb{R}$, es consideren els següents subconjunts de l'espai vectorial de matrius $\mathcal{M}(2,2,\mathbb{R})$:

$$F:= \left\langle \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ a & 9 \end{pmatrix} \right\rangle,$$

$$G:= \left\langle \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & a^2 \end{pmatrix} \right\rangle,$$

$$H:= \left\{ \begin{pmatrix} a_1 & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}(2,2,\mathbb{R}): a_1 - 3b + c = 0 \right\}.$$

a.

Determineu tots els valors de $a \in \mathbb{R}$ pels quals es compleix que:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in G$$

b.

Demostreu detalladament que $H$ és un subespai vectorial de $\mathcal{M}(2,2,\mathbb{R})$ i calculeu-ne una base.

c.

Trobeu tots els valors de $a \in \mathbb{R}$ que fan que es doni la inclusió $F \subseteq G$.