Exercici 3 · Matrices y Vectores UB 2024

Exercici 3 (30 punts). Subespais a l'espai de matrius quadrades d'ordre 2

Fixat un paràmetre real $a \in \mathbb{R}$, es consideren els següents subconjunts de l'espai vectorial de matrius $\mathcal{M}(2,2,\mathbb{R})$:

$$F:= \left\langle \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ a & 9 \end{pmatrix} \right\rangle,$$

$$G:= \left\langle \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & a^2 \end{pmatrix} \right\rangle,$$

$$H:= \left\{ \begin{pmatrix} a_1 & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}(2,2,\mathbb{R}): a_1 - 3b + c = 0 \right\}.$$

a.

Determineu tots els valors de $a \in \mathbb{R}$ pels quals es compleix que:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in G$$

b.

Demostreu detalladament que $H$ és un subespai vectorial de $\mathcal{M}(2,2,\mathbb{R})$ i calculeu-ne una base.

c.

Trobeu tots els valors de $a \in \mathbb{R}$ que fan que es doni la inclusió $F \subseteq G$.