Examen de Càlcul UB 2010 · : Punt de Control (Març 2010)

Problema 1 (2 punts). Límit mitjançant la definició d'integral

Calculeu el límit següent fent servir la definició d'integral definida com a límit d'un sumatori de Riemann:$$\lim_{n\to\infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\dots+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}$$

Problema 2 (1,5 punts). Derivació d'una funció integral

Donada la funció integral$$F(x) = \int_1^{\sin x} t^2\,dt$$calculeu la seva derivada $F'(x)$ seguint dos procediments diferents:

a.

Aplicant el Teorema Fonamental del Càlcul conjuntament amb la regla de la cadena.

b.

Avaluant prèviament la integral definida i derivant posteriorment el resultat obtingut.

Problema 3 (2 punts). Teorema del valor mitjà integral

Enuncieu el teorema del valor mitjà per al càlcul integral. A continuació, trobeu el valor $\alpha \in [1,4]$ que compleix aquest teorema per a la integral següent:$$\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$

a)

b)

Problema 4 (3 punts). Càlcul d'integrals indefinides

Calculeu les següents integrals indefinides:

a.

$\int (\ln x)^2 \, dx$

b.

$\int \frac{5x+3}{3x^2+4x+2} \, dx$

c.

$\int \frac{\sin^2 x}{1+\cos^2 x} \, dx$

Problema 5 (1,5 punts). Integral impròpia

Classifiqueu i calculeu la integral impròpia següent:

$$\int_1^2 \frac{1}{x \ln x} \, dx$$