Examen de Matemàtiques I UB 2020 · parcial 2 (Curs 2020-2021)

Pregunta 1 (1 punt). Derivades parcials respecte a x

Calculeu la derivada parcial respecte a la variable $x$ per a cadascuna de les funcions següents (0,25 punts cadascuna):

a.

$f(x, y) = x^2 y - 2xy^2$

b.

$f(x, y) = e^{x^2 y^2}$

c.

$f(x, y) = x \sin(xy)$

d.

$f(x, y, z) = 2xz \sin(xy)$

Pregunta 2 (1 punt). Matriu Hessiana

Trobeu la matriu Hessiana de la funció $f(x, y) = xe^{y-1}$ avaluada en el punt $(2, 1)$.

Introduïu els elements de la matriu Hessiana $Hf(2,1) = \begin{pmatrix} f_{xx}(2,1) & f_{xy}(2,1) \\ f_{yx}(2,1) & f_{yy}(2,1) \end{pmatrix}$:

Pregunta 3 (1 punt). Hiperplà tangent

Trobeu l'equació de l'hiperplà tangent a la funció $f(x, y) = x^3 y^2 + 2y$ en el punt $(a, b) = (1, 3)$.

Pregunta 4 (1 punt). Elasticitat parcial respecte a y

Calculeu l'elasticitat parcial respecte a la variable $y$ de la funció $f(x, y) = \frac{x+2y^2}{x-1}$ en el punt $(2, -1)$.

Pregunta 5 (1 punt). Aproximació diferencial

Se sap que una funció $f$ compleix $f(221, 399) = 493$ i que la seva derivada parcial és $\frac{\partial f}{\partial y}(221, 399) = 2$. A partir d'aquestes dades, determineu el valor aproximat de $f$ en el punt $(221, 401)$.

Pregunta 6 (2 punts). Derivació implícita

L'equació $y^2 \sqrt{x} + x e^{y-1} - 2 = 0$ defineix implícitament $y$ en funció de $x$ ($y = y(x)$) al voltant del punt $(1, 1)$. Trobeu el valor de la derivada $y'$ en el punt $x = 1$.

Pregunta 7 (1 punt). Grau d'homogeneïtat

Determineu el grau d'homogeneïtat de la funció:

$$f(x, y, z) = \sqrt{\frac{2xy}{xz + y^2}}$$

Pregunta 8 (1 punt). Regla de la cadena

Si $f(x, y) = \frac{x+2y}{x+y}$, amb $x = 2u$ i $y = 4v$, calculeu la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial u}$ en el punt $(u, v) = (2, 3)$.

Pregunta 9 (1 punt). Domini de la funció

Representeu gràficament el domini de la funció $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 4}$.