Examen de Física I URV 2001 · Recull d'exàmens de : Mecànica i Oscil·lacions

Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

1. Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

a.

Determinar el percentatge d'energia mecànica dissipada pel sistema al llarg d'un període complet d'oscil·lació.

%

b.

Si a partir de l'estat inicial s'aplica addicionalment una força constant $F = 50\text{ N}$, calcular la velocitat de la massa quan han transcorregut $50\text{ s}$.

c.

Discutir si en les condicions de l'apartat anterior es pot produir el fenomen de ressonància.

Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

Setembre 2001 - Problema 2 (10 punts). Òrbita el·líptica

Un electró (càrrega $-e$ i massa $m_e$) descriu una òrbita el·líptica al voltant d'un nucli de càrrega $+e$. En el perigeu, la distància al nucli és $r_p = R_0$ i la longitud de l'eix major val $4R_0$. Suposant una interacció purament electrostàtica amb constant de Coulomb $K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}e^2 = 9\times 10^9 e^2\text{ N}\cdot\text{m}^2$, $R_0 = 5{,}3\times 10^{-11}\text{ m}$, $e = 1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}$ i $m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\text{ kg}$:

a)

Calcular el mòdul de la velocitat al perigeu ($v_p$) i a l'apogeu ($v_a$).

b)

Trobar l'energia total de l'òrbita i el moment angular respecte al centre de forces.

c)

Demostrar analíticament que l'eix menor de l'el·lipse té una longitud de $2\sqrt{3}R_0$. Escriviu la relació emprada per al semieix menor $b$ en funció de $a$ i $e$, i la deducció del resultat final.

Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

3 Setembre 2001 - Qüestió 1 (5 punts). Gràfica de potencial

Dibuixeu i justifiqueu la gràfica d'un potencial corresponent a un camp conservatiu unidimensional que, per a un mateix nivell d'energia mecànica total $E$, admeti simultàniament:

La possibilitat d'un equilibri inestable en un punt.

Un estat de repòs momentani (punt de retorn).

Oscil·lacions confinades en una regió de l'espai.

Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

4 Setembre 2001 - Qüestió 2 (5 punts). Mínim de potencial efectiu

En la dinàmica de partícules sotmeses a camps centrals atractius inversament proporcionals al quadrat de la distància ($F(r) = -C/r^2$), el potencial efectiu presenta un mínim. Determineu analíticament a quina distància del centre de forces es troba aquest mínim i justifiqueu el seu significat físic.

a)

r 0 =

b)

Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

5 Setembre 2001 - Qüestió 3 (5 punts). Ressonància mecànica

En un règim de ressonància mecànica en velocitat d'un oscil·lador forçat, com es veu afectada l'amplitud de les elongacions si el coeficient de fregament del medi disminueix? Justifiqueu físicament i matemàticament la resposta.

Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

Setembre 2001 - Qüestió 4 (5 punts). Caixa quàntica unidimensional

Una partícula quàntica es troba confinada en un pou de potencial unidimensional infinit d'amplada $a$ ($0 \le x \le a$). Si el seu estat correspon al primer nivell excitat, en quin(s) punt(s) de la caixa la densitat de probabilitat de trobar la partícula és màxima? Raoneu la resposta.

Una partícula de massa $m = 20\text{ g}$ està unida a una molla de constant $K = 140\text{ N/m}$ i es mou en un medi viscós amb un coeficient d'esmorteïment $b = 2\text{ kg/s}$. En l'instant inicial, la partícula té la molla allargada $4\text{ cm}$ respecte de la posició d'equilibri i s'allunya d'aquesta amb una velocitat de $2\text{ cm/s}$.

a)

Trobar la posició de la partícula quan han passat $0{,}1\text{ s}$ des de l'inici.

b)

Si s'aplica una força externa periòdica $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ amb freqüència $f = 0{,}5\text{ Hz}$, fent que l'amplitud estacionària sigui de $2\text{ cm}$, quant val l'amplitud $F_0$ de la força aplicada?

c)

Quina condició s'ha de satisfer perquè existeixi ressonància en elongació? Quina seria l'amplitud de les oscil·lacions en aquest règim si $F_0$ té el mateix valor que a l'apartat anterior?

Problema. Molles en sèrie i oscil·lacions esmorteïdes (10 punts)

Es disposa de dues molles de constants $K_1 = 4\text{ N/m}$ i $K_2 = 6\text{ N/m}$ connectades en sèrie, de l'extrem de les quals penja una massa de $20\text{ g}$. Des de la posició d'equilibri, s'allarga el sistema $1\text{ cm}$ i s'allibera del repòs. Sobre la massa actua a més una força de fregament viscós oposada a la velocitat amb coeficient $b = 0{,}05\text{ kg/s}$.

a)

Trobar la posició de la massa en funció del temps. Expressa l'equació de la posició $x(t)$ (en unitats del SI):

b)

Quant de temps ha de transcórrer perquè l'amplitud de les oscil·lacions es redueixi al $25\%$ de la inicial? Quant val l'energia mecànica del sistema en aquest instant?

c)

Si sobre el sistema s'aplica una força externa sinusoïdal d'amplitud $4\text{ N}$, és possible assolir ressonància en elongació? En cas afirmatiu, quina condició s'ha de complir i quina serà l'amplitud estacionària en ressonància?

Sí

No

9 Control 1 (2021) - P1. Dinàmica de patinadors en perfil corb

Dos patinadors, cadascun amb una massa de 70 kg, patinen sobre una pista sense fricció que té un perfil descrit per l'equació $y = x^3 - 3x + 2$ (on les coordenades s'expressen en metres):

a)

Trobar la funció d'energia potencial del patinador i l'expressió de la força que actua sobre seu. [2 p]

b)

Quins són els punts d'equilibri del sistema i de quin tipus són? [1 p]

c)

Plantejar l'equació del moviment per a la coordenada $x$. [1 p]

d)

Si una patinadora surt del repòs des del punt d'equilibri màxim, determinar la seva velocitat en funció de la posició $x$. [3 p]

e)

L'altre patinador realitza petites oscil·lacions al voltant del mínim d'equilibri. Quina és la freqüència d'aquestes oscil·lacions? [3 p]

10 Problema. Dinàmica d'un bloc en pla inclinat

Un bloc de massa $m = 0{,}2\text{ kg}$ és impulsat cap amunt al llarg d'un pla inclinat $30^\circ$ respecte a l'horitzontal amb una velocitat inicial de $v_0 = 12\text{ m/s}$. El coeficient de fregament cinètic entre el bloc i la superfície és $\mu = 0{,}16$. Prenent $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$, determineu:

a)

La distància $x$ que recorre el bloc sobre el pla inclinat fins a aturar-se.

b)

La velocitat $v$ amb què el bloc retornarà a la base del pla inclinat.

Sobre una partícula actua el camp de forces bidimensional $\mathbf{F}(x,y) = 2xy\,\mathbf{i} + x^2\,\mathbf{j}\text{ N}$.

Calculeu el treball realitzat per la força al llarg del camí tancat orientat $ABCA$, format per:

La corba $AB$: arc de paràbola $y = x^2/3$ des de l'origen $A(0,0)$ fins al punt $B(3,3)$.

El segment rectilini $BC$: recta que uneix $B(3,3)$ amb el punt $C(0,1)$.

El segment $CA$: porció sobre l'eix $Y$ des de $C(0,1)$ fins a l'origen $A(0,0)$.

Abril 2014 - Problema (10 punts). Òrbita de l'àtom d'hidrogen

En un model prequàntic de l'àtom d'hidrogen, un electró de càrrega $-e$ i massa $m$ descriu una òrbita el·líptica al voltant d'un nucli de càrrega $+e$. Se sap que el perigeu i l'apogeu es troben respectivament a distàncies $R_0$ i $3R_0$ del nucli. Expresseu tots els resultats en funció de les dades de l'enunciat ($R_0$, $e$, $m$ i la constant electrostàtica $k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$):

a)

L'excentricitat de l'òrbita $\varepsilon$. [1 p]

b)

Les longituds de l'eix major ($2a$) i de l'eix menor ($2b$) de l'el·lipse. [1 p]

c)

L'energia mecànica total de l'electró $E$. [1,5 p]

d)

El mòdul del moment angular $L$. [1,5 p]

e)

La velocitat de l'electró en el perigeu $v_p$. [1,5 p]

f)

La velocitat de l'electró en l'apogeu $v_a$. [1,5 p]

g)

La velocitat mínima addicional $\Delta v$ que caldria proporcionar a l'electró quan passa pel perigeu per ionitzar l'àtom. [2 p]