Ejercicio Setembre 2001 - Problema 2 · Física I URV 2001

Setembre 2001 - Problema 1 (10 punts). Oscil·lador esmorteït i força constant

Una massa de $4\text{ kg}$ està acoblada a una molla elàstica de constant recuperadora $k = 200\text{ N/m}$. El moviment té lloc en un medi dissipatiu que redueix l'amplitud a la meitat al cap de $30\text{ s}$. Sabent que en l'instant inicial la partícula es troba a $x(0) = 30\text{ cm}$ en repòs ($\dot{x}(0) = 0$), es demana:

Setembre 2001 - Problema 2 (10 punts). Òrbita el·líptica

Un electró (càrrega $-e$ i massa $m_e$) descriu una òrbita el·líptica al voltant d'un nucli de càrrega $+e$. En el perigeu, la distància al nucli és $r_p = R_0$ i la longitud de l'eix major val $4R_0$. Suposant una interacció purament electrostàtica amb constant de Coulomb $K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}e^2 = 9\times 10^9 e^2\text{ N}\cdot\text{m}^2$, $R_0 = 5{,}3\times 10^{-11}\text{ m}$, $e = 1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}$ i $m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\text{ kg}$:

a)

Calcular el mòdul de la velocitat al perigeu ($v_p$) i a l'apogeu ($v_a$).

b)

Trobar l'energia total de l'òrbita i el moment angular respecte al centre de forces.

c)

Demostrar analíticament que l'eix menor de l'el·lipse té una longitud de $2\sqrt{3}R_0$. Escriviu la relació emprada per al semieix menor $b$ en funció de $a$ i $e$, i la deducció del resultat final.