Ejercicio Setembre 2001 - Qüestió 4 · Física I URV 2001

Primer punt de màxima densitat de probabilitat $x_1$:

Solución: $a/4$

Segon punt de màxima densitat de probabilitat $x_2$:

Solución: $3a/4$

Raonament / Justificació teòrica:

Solución: En un pou infinit unidimensional de longitud $a$, els estats estacionaris vénen descrits per les funcions d'ona: $$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$$ El nivell fonamental correspon a $n = 1$, per tant, el primer nivell excitat correspon a $n = 2$: $$\psi_2(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right)$$ La densitat de probabilitat és el quadrat del mòdul de la funció d'ona: $$P(x) = |\psi_2(x)|^2 = \frac{2}{a}\sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right)$$ Aquesta funció assoleix els seus màxims quan el sinus val $\pm 1$, és a dir, quan l'argument és un múltiple imparell de $\pi/2$: $$\frac{2\pi x}{a} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{a}{4}$$ $$\frac{2\pi x}{a} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{3a}{4}$$ Per tant, la densitat de probabilitat presenta dos màxims idèntics a les posicions $x = a/4$ i $x = 3a/4$.