Examen de Matemáticas Aplicadas URL 2018 · Segon Parcial Eines Matemàtiques (Gener 2018)

Exercici 1. Classificació i solució d'un sistema lineal pla

Considereu el sistema diferencial lineal en el pla:$$\begin{aligned} x' &= -\gamma x - y \\ y' &= x - \gamma y \end{aligned}$$

a)

Classifiqueu tots els comportaments qualitatius possibles del sistema a l'origen en funció del paràmetre real $\gamma$.

b)

Per al valor particular $\gamma = 1$, determineu una base de dues solucions reals linealment independents $X_1(t)$ i $X_2(t)$. Raoneu el desenvolupament i escriviu les solucions obtingudes:

Exercici 2. Punts crítics i estabilitat d'un model de competició de cargols

Una població de cargols es compon d'individus amb closca dextrogira ($R$, espiral en sentit horari) i levogira ($L$, espiral en sentit antihorari). La dinàmica d'ambdues poblacions ve descrita pel sistema autònom:$$\begin{aligned} R' &= R - (R^2 + aRL) \\ L' &= L - (L^2 + aRL) \end{aligned}$$on el paràmetre $a > 0$ representa el coeficient de competició entre ambdues poblacions.

a)

Calculeu tots els punts d'equilibri del sistema i determineu-ne el caràcter d'estabilitat local segons el valor del paràmetre $a$. Raoneu la resolució detallada amb la jacobiana:

b)

Indiqueu en quines condicions resulta estable la coexistència d'ambdues poblacions de cargols:

<div v-for="(opt, idx) in optionsCoex":key="idx" class="exam-option-card":class="{ selected: ans1 === opt, 'exam-option-correct': isAnswered && opt === '0 < a < 1', 'exam-option-incorrect': isAnswered && ans1 === opt && opt !== '0 < a < 1' }":data-correct="opt === '0 < a < 1' || null" @click="!isAnswered && (ans1 = opt)">

Exercici 3. Sèrie de Fourier d'un pols rectangular simètric

Trobeu el desenvolupament en sèrie de Fourier de la funció periòdica de període $2L$ definida en l'interval fonamental $[-L, L]$ per l'expressió:

$$f(x) = \begin{cases} 1, & |x| \le L/2 \\ 0, & L/2 < |x| \le L \end{cases}$$

Escriu el desenvolupament de la sèrie calculant els coeficients $a_0$, $a_n$ i $b_n$, detallant la sèrie resultant:

Exercici 4. Equació de la calor en una barra aïllada i temps de relaxació

Es considera una barra unidimensional de longitud $L$ i difusivitat tèrmica $\kappa$ amb els extrems aïllats tèrmicament de l'exterior. La distribució de temperatura inicial és:

$$u(x, t=0) = \begin{cases} T_0, & 0 \le x < L/2 \\ 0, & L/2 < x \le L \end{cases}$$

a.

Determineu la solució $u(x, t)$ com a sèrie infinita per a $t > 0$ i trobeu el perfil asimptòtic de temperatures quan $t \to +\infty$.

b.

Empreu una aproximació amb els dos primers termes no nuls de la sèrie per estimar el temps necessari perquè l'extrem inicialment fred de la barra assoleixi el 90% de la seva temperatura final.

c.

Efectueu el càlcul numèric concret d'aquest temps per a un dispositiu de silici amb $\kappa = 0{,}88\text{ cm}^2/\text{s}$ i una mida de $L = 100\text{ nm}$.