Exercici 4 · Matemáticas Aplicadas URL 2018

Tema: Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales · Del examen Examen Segon Parcial Eines Matemàtiques (Gener 2018) (2018)

Enunciado

Exercici 4. Equació de la calor en una barra aïllada i temps de relaxació

Es considera una barra unidimensional de longitud LL i difusivitat tèrmica κ\kappa amb els extrems aïllats tèrmicament de l'exterior. La distribució de temperatura inicial és:

u(x,t=0)={T0,0≤x<L/20,L/2<x≤Lu(x, t=0) = \begin{cases} T_0, & 0 \le x < L/2 \\ 0, & L/2 < x \le L \end{cases}

a.

Determineu la solució u(x,t)u(x, t) com a sèrie infinita per a t>0t > 0 i trobeu el perfil asimptòtic de temperatures quan t→+∞t \to +\infty.

b.

Empreu una aproximació amb els dos primers termes no nuls de la sèrie per estimar el temps necessari perquè l'extrem inicialment fred de la barra assoleixi el 90% de la seva temperatura final.

c.

Efectueu el càlcul numèric concret d'aquest temps per a un dispositiu de silici amb κ=0,88 cm2/s\kappa = 0{,}88\text{ cm}^2/\text{s} i una mida de L=100 nmL = 100\text{ nm}.

Enunciado: Exercici 4 · Matemáticas Aplicadas URL 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determineu la solució u(x,t)u(x, t) com a sèrie infinita per a t>0t > 0 i trobeu el perfil asimptòtic de temperatures quan t→+∞t \to +\infty.

Solución: u(x,t)=T02+∑k=0∞2T0(−1)k(2k+1)πcos⁡((2k+1)πxL)exp⁡(−κ(2k+1)2π2L2t),lim⁡t→+∞u(x,t)=T02u(x,t) = \frac{T_0}{2} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2T_0(-1)^k}{(2k+1)\pi} \cos\left(\frac{(2k+1)\pi x}{L}\right) \exp\left(-\kappa \frac{(2k+1)^2\pi^2}{L^2} t\right), \quad \lim_{t \to +\infty} u(x,t) = \frac{T_0}{2}

b. Empreu una aproximació amb els dos primers termes no nuls de la sèrie per estimar el temps necessari perquè l'extrem inicialment fred de la barra assoleixi el 90% de la seva temperatura final.

Solución: t∗=L2π2κln⁡(40π)t^* = \frac{L^2}{\pi^2 \kappa} \ln\left(\frac{40}{\pi}\right)

c. Efectueu el càlcul numèric concret d'aquest temps per a un dispositiu de silici amb κ=0,88 cm2/s\kappa = 0,88\text{ cm}^2/\text{s} i una mida de L=100 nmL = 100\text{ nm}.

Solución: 29,329{,}3 ps / 2,929⋅10−112{,}929\cdot 10^{-11} s

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 3 · 2018 · Ejercicio Activitat 4 · 2017 ›

Más ejercicios de Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales