Exercici 2 · Matemáticas Aplicadas URL 2018

Exercici 2. Punts crítics i estabilitat d'un model de competició de cargols

Una població de cargols es compon d'individus amb closca dextrogira ($R$, espiral en sentit horari) i levogira ($L$, espiral en sentit antihorari). La dinàmica d'ambdues poblacions ve descrita pel sistema autònom:$$\begin{aligned} R' &= R - (R^2 + aRL) \\ L' &= L - (L^2 + aRL) \end{aligned}$$on el paràmetre $a > 0$ representa el coeficient de competició entre ambdues poblacions.

a)

Calculeu tots els punts d'equilibri del sistema i determineu-ne el caràcter d'estabilitat local segons el valor del paràmetre $a$. Raoneu la resolució detallada amb la jacobiana:

b)

Indiqueu en quines condicions resulta estable la coexistència d'ambdues poblacions de cargols:

<div v-for="(opt, idx) in optionsCoex":key="idx" class="exam-option-card":class="{ selected: ans1 === opt, 'exam-option-correct': isAnswered && opt === '0 < a < 1', 'exam-option-incorrect': isAnswered && ans1 === opt && opt !== '0 < a < 1' }":data-correct="opt === '0 < a < 1' || null" @click="!isAnswered && (ans1 = opt)">