Exercici 1 · Matemáticas Aplicadas URL 2018

Tema: Sistemas de EDO, retrato de fase y estabilidad · Del examen Examen Segon Parcial Eines Matemàtiques (Gener 2018) (2018)

Enunciado

Exercici 1. Classificació i solució d'un sistema lineal pla

Considereu el sistema diferencial lineal en el pla:x′=−γx−yy′=x−γy\begin{aligned} x' &= -\gamma x - y \\ y' &= x - \gamma y \end{aligned}

a)

Classifiqueu tots els comportaments qualitatius possibles del sistema a l'origen en funció del paràmetre real γ\gamma.

b)

Per al valor particular γ=1\gamma = 1, determineu una base de dues solucions reals linealment independents X1(t)X_1(t) i X2(t)X_2(t). Raoneu el desenvolupament i escriviu les solucions obtingudes:

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Classifiqueu tots els comportaments qualitatius possibles del sistema a l'origen en funció del paràmetre real γ\gamma.

Solución: γ>0\gamma > 0: Focus / espiral assimptòticament estable; γ<0\gamma < 0: Focus / espiral inestable; γ=0\gamma = 0: Centre

b. Per al valor particular γ=1\gamma = 1, determineu una base de dues solucions reals linealment independents.

Solución: X1(t)=e−t(cos⁡tsin⁡t)X_1(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}, X2(t)=e−t(sin⁡t−cos⁡t)X_2(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} \sin t \\ -\cos t \end{pmatrix}

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