Examen de Estadística URL 2019 · Recull d'Exàmens del Primer Parcial d'

A partir d'una base de dades (SABI, 2017) amb dades comptables de 935 empreses espanyoles de distribució, s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció en tant per u que representa el passiu corrent sobre el passiu total). Es mostren les següents sortides de R:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

a.

Quina resposta donaríeu a qui sostingui que el percentatge poblacional és exactament de 0,8000?

b.

Assumint que la desviació tipus de la població és $\sigma = 0{,}2$, calculeu les mides mostrals requerides per garantir un marge d'error de 0,01 amb una confiança del 99% i del 95%, respectivament.

Examen 2021 (M1) - Exercici 2. Taula de contingència i mesura d'associació de solvència

Disposem d'informació sobre 935 empreses de distribució referida a l'any 2017. La variable solvent_a_ct pren el valor TRUE quan l'actiu corrent supera el passiu corrent, i FALSE en cas contrari. Es creua amb la tipologia d'activitat ( Codi_activitat):

a)

Quines tipologies de negoci presenten proporcions especialment altes o particularment baixes d'empreses solvents a curt termini? Justifiqueu la contestació prenent com a base les freqüències relatives.

b)

Comproveu si és procedent mesurar el grau d'associació i, si escau, determineu el valor d'una mètrica adequada interpretant-ne el resultat.

3. Examen 2021 (M1) - Exercici 3. Comparació de proporcions entre sectors d'activitat

A partir de la mostra de 935 empreses es calculen intervals de confiança per a la proporció de determinades activitats mitjançant t.test:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Equip_Llar"

t = 13.676, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.1353565 0.1983334

sample estimates:

mean of x

0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "Lleu_Cult", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Lleu_Cult"

t = 7.7869, df = 934, p-value = 1.82e-14

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.04075542 0.08116972

sample estimates:

mean of x

0.06096257

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

a)

Amb una seguretat del 99%, podem concloure que a la població hi ha més distribuïdors d'equipament de la llar ( Equip_Llar) que no pas de lleure i cultura ( Lleu_Cult)?

b)

Reviseu i valideu les hipòtesis necessàries per aplicar aquests intervals.

Examen 2021 (M1) - Exercici 4. Probabilitat condicionada d'usuaris d'iPhone i iPad

En una enquesta realitzada a estudiants d'Economia sobre dispositius electrònics s'ha observat que el $35\%$ disposa alhora d'iPhone i d'iPad, el $75\%$ té iPhone i el $40\%$ disposa d'iPad. Si es tria a l'atzar un estudiant, calculeu:

a.

b.

c.

Són estadísticament independents els fets de tenir iPhone i tenir iPad? Argumenteu-ho.

Sí

No

Examen 2021 (M1) - Exercici 5. Sobrecàrrega d'ascensor mitjançant normal i binomial

En un ascensor d'un centre comercial s'indica una capacitat màxima de 10 individus o 800 kg de càrrega màxima. S'assumeix que el pes de qualsevol persona segueix una distribució $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos entre persones són independents.

a.

b.

A partir de la mostra de 935 empreses de distribució referida a l'exercici 2017, es presenten les següents estimacions per a la variable perc_Passiu_Corrent:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.90)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

90 percent confidence interval:

0.8028759 0.8256759

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

a.

Quina conclusió es pot extreure respecte a una hipòtesi que afirma que la mitjana poblacional val 0,8000?

b.

Suposant coneguda la desviació típica poblacional en $\sigma = 0{,}25$, determineu la grandària de mostra imprescindible per assegurar un error màxim d'estimació de 0,01 a nivells de confiança del 90% i 95%.

7. Examen 2021 (M2) - Exercici 2. Taula de contingència i mesura d'associació de solvència

A partir de la informació d'estats financers de les 935 empreses de distribució, es disposa de la mateixa taula creuada entre solvència a curt termini i sector:

a)

Indiqueu quins sectors d'activitat mostren taxes de solvència clarament superiors o inferiors respecte del conjunt de la mostra.

b)

Valoreu si és viable determinar un indicador del grau d'associació i interpreteu el valor obtingut.

Examen 2021 (M2) - Exercici 3. Comparació de proporcions entre sectors d'activitat

S'obtenen intervals de confiança al 99% per estimar el pes de determinats sectors en la població d'empreses:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Equip_Llar"

t = 13.676, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.1353565 0.1983334

sample estimates:

mean of x

0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "General", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "General"

t = 14.199, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.1452672 0.2098130

sample estimates:

mean of x

0.1775401

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

a)

Amb el 99% de confiança, es pot sostenir que hi ha una presència menor de negocis d'equipament de la llar que de distribució general a la població?

b)

Verifiqueu les condicions estadístiques necessàries per donar validesa a aquests intervals.

Examen 2021 (M2) - Exercici 4. Probabilitat condicionada d'usuaris d'iPhone i iPad

En una enquesta sobre hàbits tecnològics entre estudiants, el 30% disposa d'iPhone i d'iPad, el 75% té iPhone i el 40% disposa d'iPad. Si s'escull un estudiant a l'atzar, calculeu:

a.

La probabilitat que no disposi de cap d'aquests dos terminals.

b.

En cas que disposi d'un iPhone, quina és la probabilitat de posseir també un iPad?

c.

Es pot considerar que la tinença dels dos aparells són fets independents? Justifiqueu la resposta.

Examen 2021 (M2) - Exercici 5. Sobrecàrrega d'ascensor mitjançant normal i binomial

Un ascensor admet fins a un màxim de 10 persones o 800 kg de pes total. El pes individual d'un client respon a una distribució $N(75\text{ kg}, 10\text{ kg})$, amb independència mútua entre usuaris.

a.

Trobeu la probabilitat que un grup de 10 usuaris sobrepassi el límit de càrrega de l'ascensor.

b.

Si a l'establiment hi ha 300 individus i la probabilitat d'agafar l'ascensor en un instant és de 0,04 per individu, quina és la probabilitat que coincideixin com a màxim 10 persones?

Es disposa d'una mostra de locals comercials per analitzar la vinculació entre la superfície del local (en $\text{m}^2$) i la seva forma jurídica (Individual, SA o SL). Es presenten els diagrames de caixa i els resultats d'un ANOVA abans i després de depurar valors atípics:

> numSummary(superficie, statistics=c("mean", "sd"), groups=forma)

mean sd data:n

individual 40.42730 24.89409 189

SA 58.03647 25.75558 235

SL 58.51497 24.54017 348

> Anova1<-aov(superficie~forma)

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

forma 2 45737 22869 36.58 6.65e-16 ***

Residuals 769 480701 625

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Un cop extrets els valors atípics:

> numSummary(superficie, statistics=c("mean", "sd"), groups=forma)

mean sd data:n

individual 40.42730 24.89409 189

SA 58.03647 25.75558 235

SL 57.95780 23.90110 345

> summary(Anova2)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

forma 2 43968 21984 35.96 1.18e-15 ***

Residuals 766 468245 611

a.

Es pot concloure que hi ha associació entre les dues variables? Raoneu-ho a partir dels gràfics i dels indicadors numèrics.

b.

Calculeu una mesura del grau de relació a la mostra.

c.

Té validesa la interpretació del resultat anterior? Raoneu la resposta i comenteu la intensitat de la relació.

Examen Gener 2019 - Exercici 2. Interval de confiança per a la superfície mitjana

A partir d'una mostra aleatòria de 773 locals comercials s'obté la següent informació descriptiva sobre la superfície:

> numSummary(superficie)

mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n

54.01215 26.18807 37.69 4.71 33.61 59.09 71.3 126.01 773

> t.test(superficie, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: superficie

t = 57.343, df = 772, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

[CENSURAT]

sample estimates:

mean of x

54.01215

a.

Determineu l'interval de confiança al 95% de seguretat per a la mitjana poblacional ($\mu$) de la superfície dels locals.

[

;

]

b.

Es satisfan els requisits necessaris per a la validesa d'aquest interval? Argumenteu la resposta.

c.

Independentment de les condicions, és raonable afirmar que la mitjana poblacional podria ser exactament de $55\text{ m}^2$?

Examen Gener 2019 - Exercici 3. Probabilitats de compra combinada a supermercats

En un estudi de patrons de compra d'una cadena de supermercats entre clients de 25 a 35 anys, es defineixen els successos: $B = \text{“compra bolquers”}$ amb $P(B) = 0{,}3$, i $C = \text{“compra cervesa”}$ amb $P(C) = 0{,}4$. La probabilitat que adquireixin ambdós productes simultàniament és $P(B \cap C) = 0{,}2$.

a.

Si un comprador d'aquest interval d'edat ha adquirit bolquers, quina probabilitat hi ha que també compri cervesa?

b.

Si no ha comprat bolquers, quina probabilitat hi ha que hagi comprat cervesa?

c.

Són independents la compra de bolquers i la de cervesa? Justifiqueu la contestació.

Sí

No

Examen Gener 2019 - Exercici 4. Anàlisi de funcions de densitat de probabilitat

Indiqueu raonadament quina de les següents funcions és una funció de densitat legítima i expliqueu per quin motiu les altres dues no ho són:

$f(x) = \begin{cases} 6x^2 - 1 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altrament} \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altrament} \end{cases}$

$h(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altrament} \end{cases}$

A

$f(x)$

B

$g(x)$

C

$h(x)$

Examen Gener 2019 - Exercici 5. Distribució normal de vendes de llet

El volum setmanal de llet venut per una central lletera segueix un patró normal amb mitjana $\mu = 17000$ litres i desviació estàndard $\sigma = 2500$ litres ($X \sim N(17000, 2500)$).

a.

Trobeu la probabilitat que durant una setmana concreta les vendes no assoleixin els 12000 litres.

b.

A partir de quina quantitat de litres venuts es troba el 10% de les setmanes amb major volum de vendes?

c.

Entre quins dos valors simètrics al voltant de la mitjana es concentra el 30% central de les setmanes?

A partir d'una mostra de 772 establiments comercials es vol conèixer la fracció de locals situats en un centre comercial:

a)

Construïu l'interval de confiança per a la proporció poblacional d'establiments en centre comercial amb un risc d'error del 10%.

b)

Es compleixen les condicions teòriques per aplicar aquest interval? Interpreteu el resultat obtingut.

17 Examen Juny 2019 - Exercici 2. Taula de contingència de situació i forma jurídica

S'estudia la possible associació entre la situació del local (al carrer o en centre comercial) i la seva forma jurídica en 772 comerços:

a)

Trobeu la freqüència esperada corresponent a la casella de comerços individuals en centre comercial (casella enfosquida).

b)

Entre els locals de carrer, quin percentatge són individuals? Dels que són SL, quin percentatge es troba en centre comercial? Quin percentatge del total de la mostra són SA i alhora estan al carrer?

%

%

%

c)

Calculeu la V de Cramér per quantificar la relació.

d)

És vàlida la interpretació d'aquesta mesura? Per què?

e)

Amb quines formes mercantils s'associen amb més força els locals de carrer i els de centre comercial?

En controls ordinaris de trànsit es constata que el 5% dels conductors sotmesos a la prova donen positiu en alcoholèmia ($A$) i que un 10% no porta cordat el cinturó de seguretat ($C$). Les dues infraccions es consideren successos independents ($P(A) = 0{,}05$, $P(C) = 0{,}10$).

a.

Quin percentatge dels conductors que no duen cinturó donen positiu al test d'alcoholèmia?

%

b.

Quin percentatge de conductors no incorre en cap de les dues infraccions?

%

c.

Quin percentatge de conductors comet com a mínim una d'aquestes dues infraccions?

%

En controls ordinaris de trànsit es constata que el 5% dels conductors sotmesos a la prova donen positiu en alcoholèmia ($A$) i que un 10% no porta cordat el cinturó de seguretat ($C$). Les dues infraccions es consideren successos independents ($P(A) = 0{,}05$, $P(C) = 0{,}10$).

A partir del context de l'exercici anterior, responeu:

a.

Si un agent atura 5 vehicles, determineu la probabilitat que com a mínim un conductor circuli sense el cinturó cordat.

b.

Calculeu i interpreteu l'esperança matemàtica i la variància del nombre de conductors sense cinturó en una mostra de 5 conductors aturats.

En controls ordinaris de trànsit es constata que el 5% dels conductors sotmesos a la prova donen positiu en alcoholèmia ($A$) i que un 10% no porta cordat el cinturó de seguretat ($C$). Les dues infraccions es consideren successos independents ($P(A) = 0{,}05$, $P(C) = 0{,}10$).

A partir del context de l'exercici anterior, responeu:

c.

Si es detenen 100 conductors, calculeu quants conductors sense cinturó es trobaran com a molt amb una probabilitat del 10%.