Examen de Álgebra Lineal UPC 2018 · Juny

Exercici 1 (2,5 punts). Dinàmica i composició d'un nucli estel·lar

Un equip d'investigadors en astrofísica identifica una classe d'estel constituïda bàsicament per tres elements: $X$, $Y$ i $Z$. A causa de les reaccions nuclears encadenades a l'interior estel·lar, l'evolució anual de la massa de cada component compleix les regles següents:

La quantitat de $X$ perd exactament la massa que inicialment tenia l'element $Z$:

$$X_{T+1} = X_T - Z_T$$

La quantitat de massa de $Y$ es redueix un 40%:

$$Y_{T+1} = 0.6 Y_T$$

L'element $Z$ perd un 80% de la seva massa pròpia, però guanya el doble de la massa que posseïa inicialment $Y$:

$$Z_{T+1} = 2 Y_T + 0.2 Z_T$$

Es pretén determinar el comportament a llarg termini de la composició del nucli de l'estel emprant eines d'àlgebra lineal.

a)

Trobeu la matriu de transició $A$ que descriu l'estat de les masses al cap d'un any a partir de les masses a l'inici del període, tal que:

$$\begin{pmatrix} X_{T+1} \\ Y_{T+1} \\ Z_{T+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} X_T \\ Y_T \\ Z_T \end{pmatrix}$$

b)

Expliqueu amb detall i de la manera més eficient possible com es deduiria la composició asimptòtica del nucli quan el temps tendeix a infinit, basant-vos en els continguts d'àlgebra treballats durant el curs. (No és necessari completar tots els càlculs numèrics).

Exercici 2 (2,5 punts). Recta de regressió i predicció per mínims quadrats

L'índex hipotecari Euríbor serveix de referència habitual per predir l'activitat de la construcció d'habitatges, de manera que augments de l'Euríbor solen associar-se a menys llicències concedides, i a la inversa.

Es recullen les dades següents registrades en un període de deu anys:

Any · 2006 · 2008 · 2010 · 2012 · 2014 · 2016

Euríbor (%) · 5 · 2 · 1 · 3 · 0 · 4

Permisos d'edificació · 10 · 15 · 20 · 10 · 20 · 5

a.

Determineu la recta de regressió lineal $y = ax + b$ que millor aproxima la quantitat de permisos concedits ($y$) en funció del percentatge de l'Euríbor ($x$) pel mètode dels mínims quadrats.

b.

Si l'any 2011 l'Euríbor es va situar en el 2%, quants permisos d'edificació s'estima que es van atorgar aquell any d'acord amb el model obtingut?

Exercici 3 (5 punts). Projecció ortogonal i millor aproximació a $\mathbb{R}^5$

Tots els apartats d'aquest exercici es desenvolupen considerant el producte escalar euclidià estàndard a $\mathbb{R}^5$.

a.

Trobeu el valor del paràmetre $a$ per tal que la projecció ortogonal del vector $\vec{x} = (1, 0, -1, a, 0)$ sobre el vector $\vec{u} = (1, 1, 1, 1, 1)$ sigui igual a $(3, 3, 3, 3, 3)$.

b.

A l'espai vectorial $\mathbb{R}^5$ es defineix el subespai vectorial $W$ generat pels vectors:

$$W = \langle (1,0,0,1,0), (2,1,0,-1,0), (4,1,0,1,0) \rangle$$

Trobeu una base ortogonal de $W$. Escriviu els dos vectors de la base $\{\vec{w}_1, \vec{w}_2\}$:

c.

Donat el vector $\vec{y} = (1, 1, 1, 1, 1)$, determineu la millor aproximació d'aquest vector dins del subespai $W$.

d.

Quin dels tres vectors següents és el més proper a $\vec{y} = (1, 1, 1, 1, 1)$ segons el criteri de mínima distància euclidiana? Justifiqueu la resposta.

$$\vec{x}_1 = (1, 1, 1, 5, 1); \quad \vec{x}_2 = (1, 2, 3, 1, 3); \quad \vec{x}_3 = (0, 0, 0, 0, 1)$$