Exercici 3 · Álgebra Lineal UPC Juny 2018

Exercici 3 (5 punts). Projecció ortogonal i millor aproximació a $\mathbb{R}^5$

Tots els apartats d'aquest exercici es desenvolupen considerant el producte escalar euclidià estàndard a $\mathbb{R}^5$.

a.

Trobeu el valor del paràmetre $a$ per tal que la projecció ortogonal del vector $\vec{x} = (1, 0, -1, a, 0)$ sobre el vector $\vec{u} = (1, 1, 1, 1, 1)$ sigui igual a $(3, 3, 3, 3, 3)$.

b.

A l'espai vectorial $\mathbb{R}^5$ es defineix el subespai vectorial $W$ generat pels vectors:

$$W = \langle (1,0,0,1,0), (2,1,0,-1,0), (4,1,0,1,0) \rangle$$

Trobeu una base ortogonal de $W$. Escriviu els dos vectors de la base $\{\vec{w}_1, \vec{w}_2\}$:

c.

Donat el vector $\vec{y} = (1, 1, 1, 1, 1)$, determineu la millor aproximació d'aquest vector dins del subespai $W$.

d.

Quin dels tres vectors següents és el més proper a $\vec{y} = (1, 1, 1, 1, 1)$ segons el criteri de mínima distància euclidiana? Justifiqueu la resposta.

$$\vec{x}_1 = (1, 1, 1, 5, 1); \quad \vec{x}_2 = (1, 2, 3, 1, 3); \quad \vec{x}_3 = (0, 0, 0, 0, 1)$$