Examen de Álgebra Lineal UPC 2018 · Juny

Exercici 1 (2,5 punts). Discussió d'un sistema lineal amb paràmetres

Estudieu la resolubilitat del següent sistema d'equacions lineals en funció dels paràmetres reals $a, b \in \mathbb{R}$. Presenteu finalment un quadre resum amb tots els casos:

$$\begin{cases} (a+1)x + y + z = 1 \\ x + (a+1)y + z = b \\ x + y + (1+a)z = b^2 \end{cases}$$

Redacteu la discussió completa detallant el càlcul del determinant de la matriu de coeficients, els rangs de la matriu del sistema i de l'ampliada segons el teorema de Rouché-Frobenius per a cada cas, i el quadre resum final.

Exercici 2 (2,5 punts). Canvi de base en un subespai de matrius

Sigui $W \subset M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ un subespai vectorial del qual es coneixen dues bases:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}$$

$$B_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}$$

a.

b.

c.

$A|_{B_2} = ($,, $)^T$

Exercici 3 (5 punts). Aplicacions lineals, nucli i composició

Es considera l'aplicació lineal següent:

$$f: \mathbb{R}^4 \rightarrow M_{2\times 2}(\mathbb{R}), \quad (a, b, c, d) \mapsto \begin{pmatrix} a+b & b-c \\ c-d & d \end{pmatrix}$$

a.

Trobeu la matriu associada a $f$ respecte de les bases canòniques de sortida i d'arribada, $F_{cc}$.

b.

Calculeu la dimensió i una base del nucli de $f$ ($\operatorname{Ker} f$).

D'altra banda, es defineix una segona aplicació lineal $g: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^2$ de la qual es coneixen les següents imatges:

$$g\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (3, 1), \quad g\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (6, 12), \quad g\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = (8, 0), \quad g\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = (0, 0)$$

c.

Calculeu la imatge per $g$ de la matriu $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

(

,

)

d.

Determineu la matriu associada a l'aplicació $g$ en bases canòniques, $G_{cc}$.

e.

Calculeu la matriu associada a l'aplicació composta $h = g \circ f$ en bases canòniques, $H_{cc}$.

Nota: Es recorda que les bases canòniques respectives són:

$C_{\mathbb{R}^4} = \{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}$

$C_{M_{2\times 2}} = \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}$

$C_{\mathbb{R}^2} = \{(1,0), (0,1)\}$