Exercici 1 · Álgebra Lineal UPC Juny 2018

Exercici 1 (2,5 punts). Dinàmica i composició d'un nucli estel·lar

Un equip d'investigadors en astrofísica identifica una classe d'estel constituïda bàsicament per tres elements: $X$, $Y$ i $Z$. A causa de les reaccions nuclears encadenades a l'interior estel·lar, l'evolució anual de la massa de cada component compleix les regles següents:

La quantitat de $X$ perd exactament la massa que inicialment tenia l'element $Z$:

$$X_{T+1} = X_T - Z_T$$

La quantitat de massa de $Y$ es redueix un 40%:

$$Y_{T+1} = 0.6 Y_T$$

L'element $Z$ perd un 80% de la seva massa pròpia, però guanya el doble de la massa que posseïa inicialment $Y$:

$$Z_{T+1} = 2 Y_T + 0.2 Z_T$$

Es pretén determinar el comportament a llarg termini de la composició del nucli de l'estel emprant eines d'àlgebra lineal.

a)

Trobeu la matriu de transició $A$ que descriu l'estat de les masses al cap d'un any a partir de les masses a l'inici del període, tal que:

$$\begin{pmatrix} X_{T+1} \\ Y_{T+1} \\ Z_{T+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} X_T \\ Y_T \\ Z_T \end{pmatrix}$$

b)

Expliqueu amb detall i de la manera més eficient possible com es deduiria la composició asimptòtica del nucli quan el temps tendeix a infinit, basant-vos en els continguts d'àlgebra treballats durant el curs. (No és necessari completar tots els càlculs numèrics).