Exercici 3 · Álgebra Lineal UPC Juny 2018

Tema: Aplicacions lineals: nucli, imatge i matriu associada · Del examen Juny (2018)

Enunciado

Exercici 3 (5 punts). Aplicacions lineals, nucli i composició

Es considera l'aplicació lineal següent:

f:R4→M2×2(R),(a,b,c,d)↦(a+bb−cc−dd)f: \mathbb{R}^4 \rightarrow M_{2\times 2}(\mathbb{R}), \quad (a, b, c, d) \mapsto \begin{pmatrix} a+b & b-c \\ c-d & d \end{pmatrix}

a.

Trobeu la matriu associada a ff respecte de les bases canòniques de sortida i d'arribada, FccF_{cc}.

b.

Calculeu la dimensió i una base del nucli de ff (Ker⁡f\operatorname{Ker} f).

D'altra banda, es defineix una segona aplicació lineal g:M2×2(R)→R2g: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^2 de la qual es coneixen les següents imatges:

g(1000)=(3,1),g(0300)=(6,12),g(2010)=(8,0),g(1111)=(0,0)g\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (3, 1), \quad g\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (6, 12), \quad g\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = (8, 0), \quad g\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = (0, 0)

c.

Calculeu la imatge per gg de la matriu A=(0200)A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

(

,

)

d.

Determineu la matriu associada a l'aplicació gg en bases canòniques, GccG_{cc}.

e.

Calculeu la matriu associada a l'aplicació composta h=g∘fh = g \circ f en bases canòniques, HccH_{cc}.

Nota: Es recorda que les bases canòniques respectives són:

CR4={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}C_{\mathbb{R}^4} = \{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}

CM2×2={(1000),(0100),(0010),(0001)}C_{M_{2\times 2}} = \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}

CR2={(1,0),(0,1)}C_{\mathbb{R}^2} = \{(1,0), (0,1)\}

Enunciado: Exercici 3 · Álgebra Lineal UPC Juny 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Trobeu la matriu associada a f respecte de les bases canòniques de sortida i d'arribada, F_cc (Fila 1, Columna 1)

Solución: 1

a. Matriu F_cc (Fila 1, Columna 2)

Solución: 1

a. Matriu F_cc (Fila 1, Columna 3)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 1, Columna 4)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 2, Columna 1)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 2, Columna 2)

Solución: 1

a. Matriu F_cc (Fila 2, Columna 3)

Solución: -1

a. Matriu F_cc (Fila 2, Columna 4)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 3, Columna 1)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 3, Columna 2)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 3, Columna 3)

Solución: 1

a. Matriu F_cc (Fila 3, Columna 4)

Solución: -1

a. Matriu F_cc (Fila 4, Columna 1)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 4, Columna 2)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 4, Columna 3)

Solución: 0

a. Matriu F_cc (Fila 4, Columna 4)

Solución: 1

b. Calculeu la dimensió i una base del nucli de f (dim(Ker f))

Solución: 0

b. Base del nucli de f

Solución: ∅ / conjunt buit / Ø

c. Calculeu la imatge per g de la matriu A = [0 2; 0 0] (primera component)

Solución: 4

c. Calculeu la imatge per g de la matriu A = [0 2; 0 0] (segona component)

Solución: 8

d. Determineu la matriu associada a l'aplicació g en bases canòniques, G_cc (Fila 1, Columna 1)

Solución: 3

d. Matriu G_cc (Fila 1, Columna 2)

Solución: 2

d. Matriu G_cc (Fila 1, Columna 3)

Solución: 2

d. Matriu G_cc (Fila 1, Columna 4)

Solución: -7

d. Matriu G_cc (Fila 2, Columna 1)

Solución: 1

d. Matriu G_cc (Fila 2, Columna 2)

Solución: 4

d. Matriu G_cc (Fila 2, Columna 3)

Solución: -2

d. Matriu G_cc (Fila 2, Columna 4)

Solución: -3

e. Calculeu la matriu associada a l'aplicació composta h = g o f en bases canòniques, H_cc (Fila 1, Columna 1)

Solución: 3

e. Matriu H_cc (Fila 1, Columna 2)

Solución: 5

e. Matriu H_cc (Fila 1, Columna 3)

Solución: 0

e. Matriu H_cc (Fila 1, Columna 4)

Solución: -9

e. Matriu H_cc (Fila 2, Columna 1)

Solución: 1

e. Matriu H_cc (Fila 2, Columna 2)

Solución: 5

e. Matriu H_cc (Fila 2, Columna 3)

Solución: -6

e. Matriu H_cc (Fila 2, Columna 4)

Solución: -1

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Exercici 2 · 2017 ›

Más ejercicios de Aplicacions lineals: nucli, imatge i matriu associada