Exercici 1 · Álgebra Lineal UPC 2017

Exercici 1 (4 punts). Canvis de base i subespais en l'espai de matrius $M_{3\times 2}$

En l'espai vectorial de les matrius $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ es defineix un subespai vectorial $F$. Es disposa de la següent informació:

La matriu de canvi de base en $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ de la base $B$ a la base canònica $C$ és:

$$C_{BC} = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

La base canònica de $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ ve donada per:

$$C = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

A més, es coneixen dues bases $U$ i $V$ del subespai $F$:

$$U = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \right\}, \quad V = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right\}$$

I es considera la matriu:

$$\vec{m} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

a)

Indica quins són els vectors que formen la base $B$ i expressa la matriu $\vec{m}$ en coordenades respecte d'aquesta base $B$. [0,5 punts]

b)

Determina les components de la matriu $\vec{m}$ respecte de la base $U$. [0,5 punts]

$\lambda =$

$\mu =$

c)

Troba la matriu de canvi de base de $V$ a $U$ ($C_{VU}$), justificant cadascun dels passos seguits. [1,25 punts]

d)

Calcula les components de $\vec{m}$ en la base $V$ emprant la matriu trobada a l'apartat c). [1,25 punts]

$v_1 =$

$v_2 =$

e)

Troba novament les components de $\vec{m}$ en la base $V$, però resolent directament el sistema sense utilitzar cap matriu de canvi de base. [0,5 punts]

$\lambda =$

$\mu =$