Exercici 2 · Álgebra Lineal UPC 2017

Exercici 2 (6 punts). Estudi d'aplicacions lineals en espais de polinomis

Es defineix l'aplicació lineal $f: P_2(x) \longrightarrow P_2(x)$ mitjançant l'assignació:

$$f(a + bx + cx^2) = (a - b) + (a + b)x + (a + c)x^2$$

I es consideren les següents bases de $P_2(x)$:

$$B = \{1 + x^2,\, 1 + x,\, 1\}, \quad D = \{x^2,\, x,\, 1\}$$

a)

Troba la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent la base $B$ tant a l'espai origen com al destí ($F_{BB}$). [1,5 punts]

b)

Determina de forma justificada si $f$ és una aplicació injectiva, exhaustiva i/o bijectiva. [0,5 punts]

Es considera ara una segona aplicació lineal $g: P_2(x) \longrightarrow \mathbb{R}^2$, la matriu associada de la qual en la base $D$ d'origen i la base $E$ de destí és:

$$G_{DE} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{amb } E = \{(0,2), (1,0)\}$$

c)

Calcula la imatge mitjançant $g$ del polinomi $\vec{p} = 4 + x + x^2$. Dona el vector final com a element de $\mathbb{R}^2$, no en components d'una base. [1,25 punts]

$g(\vec{p}) = ($

,

$)$

d)

Si s'anomena $h(x) = (g \circ f)(x)$ a la composició de les dues aplicacions, determina la matriu associada $H_{BE}$ en base $B$ d'origen i base $E$ de destí. [1,5 punts]

e)

Troba una base i la dimensió del nucli de l'aplicació lineal $g$ ($\mathrm{Ker}(g)$). Expressa la base com a polinomis, sense deixar el resultat en components respecte de cap base. [1,25 punts]