Problema 1 - Espais i subespais vectorials · Álgebra Lineal UPC Juny 2016

Considerem l'espai vectorial $P_2[x]$ dels polinomis de grau menor o igual que 2 amb coeficients reals, i els següents conjunts de vectors:

$$B_1 = \{1, a + x, 1 + x + x^2\} \quad (a \in \mathbb{R})$$$$B_2 = \{b + x^2, (1 + b) + x^2, b + x\} \quad (b \in \mathbb{R})$$

on $B_1$ és una base de $P_2[x]$.

a)

Determineu per a quins valors del paràmetre real $b$ el conjunt $B_2$ constitueix una base de $P_2[x]$. [0,5 punts]

Considerem ara l'espai vectorial de les matrius reals quadrades d'ordre 2, $M_{2\times 2}$, i el subconjunt:$$G = \left\{ A \in M_{2\times 2} \;\middle|\; A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}, \quad \text{amb } B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

b)

Demostreu si $G$ és un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$. En cas afirmatiu, determineu-ne una base i la seva dimensió. [1,5 punts]

Sí

No