Examen de Estadística y Visualización de Datos UPC 2017 · Recull d'exàmens de primer parcial d'Estadística

L'ascensor d'un centre comercial té una placa informativa que indica: «capacitat màxima 10 persones, o 800 kg com a màxim». Assumiu que el pes d'una persona triada a l'atzar segueix una distribució $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels individus són mútuament independents.

Model 1 - Exercici 1. IC per al passiu corrent

Es disposa d'informació sobre els estats financers de 935 empreses de distribució espanyoles (exercici 2017, base de dades SABI). La variable perc_Passiu_Corrent recull el tant per u que representa el passiu corrent sobre el passiu total.

S'executen dues proves t a R amb els nivells de confiança del 99% i del 95%:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates: mean of x: 0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates: mean of x: 0.8142759

a)

Quina resposta donaríeu a algú que sosté que aquest percentatge a escala poblacional és de 0,8000?

b)

Suposant que la desviació típica poblacional és de 0,2, quines mides mostrals es necessiten per gaudir d'un marge d'error de 0,01 a nivells de confiança del 99% i del 95%, respectivament?

L'ascensor d'un centre comercial té una placa informativa que indica: «capacitat màxima 10 persones, o 800 kg com a màxim». Assumiu que el pes d'una persona triada a l'atzar segueix una distribució $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels individus són mútuament independents.

Model 1 - Exercici 2. Taula de contingència solvència i activitat

A partir de la mateixa base de dades de 935 empreses de distribució, s'analitza si l'empresa és solvent a curt termini ( solvent_a_ct: TRUE si l'actiu corrent supera el passiu corrent, i FALSE altrament) en funció del sector d'activitat ( Codi_activitat).

S'obté a més el resultat del contrast de khi-quadrat de Pearson: $\chi^2 = 71{,}81947$, graus de llibertat = 7, $p = 6{,}33 \cdot 10^{-13}$.

a)

Quins tipus de distribució sobresurten per tenir proporcions més altes o més baixes d'empreses solvents a curt termini? Justifiqueu-ho a partir de la informació numèrica de la taula.

b)

Si escau, calculeu una mesura adequada del grau d'associació i interpreteu-la. Raoneu en tot cas per què és o no aplicable.

L'ascensor d'un centre comercial té una placa informativa que indica: «capacitat màxima 10 persones, o 800 kg com a màxim». Assumiu que el pes d'una persona triada a l'atzar segueix una distribució $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels individus són mútuament independents.

Model 1 - Exercici 3. Comparació de proporcions poblacionals

Considerant les 935 empreses de distribució, s'estimen els intervals de confiança al 99% per a la proporció d'empreses dedicades a l'«Equipament de la llar» i al «Lleure i cultura»:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.1353565 0.1983334

sample estimates: mean of x: 0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "Lleu_Cult", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.04075542 0.08116972

sample estimates: mean of x: 0.06096257 Codi_activitat · Frequency · Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

a)

Amb una confiança del 99%, es pot concloure que en la població hi ha una proporció més elevada d'empreses d'equipament de la llar que de lleure i cultura?

b)

Verifiqueu les condicions necessàries per a la validesa d'aquests intervals de confiança.

L'ascensor d'un centre comercial té una placa informativa que indica: «capacitat màxima 10 persones, o 800 kg com a màxim». Assumiu que el pes d'una persona triada a l'atzar segueix una distribució $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels individus són mútuament independents.

Model 1 - Exercici 4. Probabilitat condicional i independència de dispositius

En una enquesta duta a terme entre estudiants d'Economia sobre les seves preferències tecnològiques, es conclou que el 35% posseeix alhora un iPhone i un iPad, el 75% té iPhone i el 40% disposa d'iPad.

· IPhone · IPhone C

IPad · 35 · 5 · 40

IPad C · 40 · 20 · 60

· 75 · 25 · 100

Si se selecciona un estudiant a l'atzar, calculeu:

a.

b.

c.

Són independents els esdeveniments «tenir iPhone» i «tenir iPad»? Justifiqueu la resposta.

Sí

No

L'ascensor d'un centre comercial té una placa informativa que indica: «capacitat màxima 10 persones, o 800 kg com a màxim». Assumiu que el pes d'una persona triada a l'atzar segueix una distribució $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels individus són mútuament independents.

a. Quina és la probabilitat que un grup de 10 clients sobrecarregui l'ascensor?

L'ascensor d'un centre comercial té una placa informativa que indica: «capacitat màxima 10 persones, o 800 kg com a màxim». Assumiu que el pes d'una persona triada a l'atzar segueix una distribució $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels individus són mútuament independents.

b. Si en un moment concret hi ha 300 persones al centre comercial i la probabilitat que qualsevol client vulgui agafar l'ascensor és de 0,05, quina és la probabilitat que coincideixin com a molt 10 persones a l'ascensor?

L'ascensor d'un centre comercial limita la càrrega a 10 persones o 800 kg. Es considera que el pes d'un client individual se sotmet a una distribució normal amb mitjana 75 kg i desviació estàndard 10 kg, i que els pesos dels passatgers són independents.

Model 2 - Exercici 1. IC i càlcul de mida mostral

A partir de la informació financera de 935 empreses de distribució espanyoles (exercici 2017), s'avalua la variable perc_Passiu_Corrent mitjançant proves t amb nivells de confiança del 90% i del 95%:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.90)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

90 percent confidence interval:

0.8028759 0.8256759

sample estimates: mean of x: 0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates: mean of x: 0.8142759

a.

Què respondríeu a algú que afirma que la mitjana d'aquest percentatge en la població és exactament 0,8000?

b.

Suposant una desviació típica poblacional de 0,25, quina grandària de mostra cal per assegurar un marge d'error màxim de 0,01 amb confiances del 90% i del 95%, respectivament?

L'ascensor d'un centre comercial limita la càrrega a 10 persones o 800 kg. Es considera que el pes d'un client individual se sotmet a una distribució normal amb mitjana 75 kg i desviació estàndard 10 kg, i que els pesos dels passatgers són independents.

Model 2 - Exercici 2. Anàlisi d'associació en taula de contingència

A partir de la taula creuada entre solvència a curt termini ( solvent_a_ct) i tipus d'activitat de distribució en la mostra de 935 empreses:

a)

Destaqueu quins tipus de distribució presenten proporcions significativament més altes o més baixes d'empreses solvents en comparació amb el total global.

b)

És possible calcular la V de Cramér? En cas afirmatiu, calculeu-la i interpreteu el grau d'associació entre les dues variables.

L'ascensor d'un centre comercial limita la càrrega a 10 persones o 800 kg. Es considera que el pes d'un client individual se sotmet a una distribució normal amb mitjana 75 kg i desviació estàndard 10 kg, i que els pesos dels passatgers són independents.

Model 2 - Exercici 3. Comparació d'intervals de proporció

S'estudien les proporcions d'empreses de la mostra dedicades a «Equipament de la llar» i a «Distribució general»:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.1353565 0.1983334

mean of x: 0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "General", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.1452672 0.2098130

mean of x: 0.1775401

a)

Amb un 99% de confiança, es pot afirmar que a la població hi ha menys empreses d'equipament de la llar que de distribució general?

b)

Indiqueu i comproveu les condicions necessàries per a la validesa d'aquests intervals.

L'ascensor d'un centre comercial limita la càrrega a 10 persones o 800 kg. Es considera que el pes d'un client individual se sotmet a una distribució normal amb mitjana 75 kg i desviació estàndard 10 kg, i que els pesos dels passatgers són independents.

Model 2 - Exercici 4. Probabilitat i contrast d'independència

En una enquesta similar a estudiants d'Economia, el 30% disposa d'iPhone i d'iPad simultàniament, el 75% disposa d'iPhone i el 40% disposa d'iPad.

· IPhone · IPhone C · Total

IPad · 30 · 10 · 40

IPad C · 45 · 15 · 60

Total · 75 · 25 · 100

a.

Calculeu la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar no tingui cap dels dos dispositius.

b.

Si se sap que un estudiant posseeix un iPhone, quina és la probabilitat que tingui també un iPad?

c.

Són independents els esdeveniments «tenir iPhone» i «tenir iPad»?

Sí

No

L'ascensor d'un centre comercial limita la càrrega a 10 persones o 800 kg. Es considera que el pes d'un client individual se sotmet a una distribució normal amb mitjana 75 kg i desviació estàndard 10 kg, i que els pesos dels passatgers són independents.

a.

Quina és la probabilitat que 10 persones sobrepassin el pes límit de l'ascensor?

L'ascensor d'un centre comercial limita la càrrega a 10 persones o 800 kg. Es considera que el pes d'un client individual se sotmet a una distribució normal amb mitjana 75 kg i desviació estàndard 10 kg, i que els pesos dels passatgers són independents.

b.

Si al centre comercial hi ha 300 clients i la probabilitat individual de prendre l'ascensor és de 0,04, quina probabilitat hi ha que com a màxim 10 persones vulguin utilitzar-lo simultàniament?

Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

Posteriorment, eliminant possibles valors atípics, es genera un segon model (Anova2):

> numSummary(superficie, statistics=c("mean", "sd"), groups=forma)

mean sd data:n

individual 40.42730 24.89409 189

SA 58.03647 25.75558 235

SL 57.95780 23.90110 345

> summary(Anova2)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

forma 2 43968 21984 35.96 1.18e-15 ***

Residuals 766 468245 611

--- a)

A la vista dels resultats, hi ha relació entre la superfície i la forma mercantil? Interpreteu els gràfics i les dades numèriques.

b)

Quantifiqueu el grau de relació entre aquestes dues variables a la mostra.

c)

És possible interpretar directament el resultat de l'apartat anterior? Per què? Independentment d'això, interpreteu-lo.

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

12. Gener 2019 - Exercici 2. Estimació puntual i per interval de la superfície

A partir d'una mostra aleatòria de 773 locals comercials, es resumeix la superfície mitjançant R:

> numSummary(superficie)

mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n

54.01215 26.18807 37.69 4.71 33.61 59.09 71.3 126.01 773

> t.test(superficie, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: superficie

t = 57.343, df = 772, p-value < 2.2e-16

a.

Calculeu l'interval de confiança per a la mitjana poblacional ($\mu$) de la superfície dels locals amb un risc del 5%.

b.

Es compleixen les condicions necessàries per poder interpretar aquest interval? Justifiqueu la resposta.

c.

Independentment de les condicions, determineu si és possible que la superfície mitjana poblacional sigui de 55 metres quadrats.

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

13 Gener 2019 - Exercici 3. Probabilitats de cistella de la compra

Un estudi de vendes en una cadena de supermercats entre clients de 25 a 35 anys va determinar que el 40% compra cervesa ($C$), el 30% compra bolquers ($B$) i el 20% compra simultàniament ambdós productes ($B \cap C$).

a.

Si un client ha comprat bolquers, quina és la probabilitat que hagi comprat també cervesa?

b.

I si no ha comprat bolquers, quina és la probabilitat que hagi comprat cervesa?

c.

Són independents els esdeveniments «compra de cervesa» i «compra de bolquers»? Justifiqueu la resposta.

Sí

No

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

Indiqueu quina de les funcions següents és una funció de densitat de probabilitat legítima i justifiqueu per què les altres dues no ho són:

$f(x) = \begin{cases} 6x^2 - 1 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$

$h(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$

$f(x)$

$g(x)$

$h(x)$

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

El volum en litres de llet venuts per una central lletera segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 17000$ litres i desviació estàndard $\sigma = 2500$ litres/setmana: $X \sim N(17000; 2500)$.

a.

Calculeu la probabilitat que una setmana determinada es venguin menys de 12000 litres.

b.

A partir de quina quantitat de litres se situa el 10% de les setmanes amb més vendes?

c.

Entre quines xifres de litres venuts es troba el 30% central de les setmanes al voltant de la mitjana?

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

16 Juny 2019 - Exercici 1. IC per a la proporció de locals

A partir d'una mostra de 772 locals comercials, s'analitza la variable situacio (al carrer o en centre comercial):

a.

Calculeu l'interval de confiança per a la proporció poblacional de locals comercials situats en un centre comercial emprant un nivell de risc del 10%.

b.

Es compleixen les condicions necessàries per interpretar aquest interval? Justifiqueu la resposta i oferiu la interpretació final.

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

17 Juny 2019 - Exercici 2. Taula de contingència ubicació i forma jurídica

Es creua la forma mercantil dels locals amb la seva ubicació:

a)

Calculeu la freqüència esperada corresponent als locals situats en centre comercial amb forma jurídica individual.

b)

Dels locals situats al carrer, quin percentatge té forma individual? Dels locals SL, quin percentatge està en un centre comercial? Quin percentatge del total de la mostra són SA i alhora estan al carrer? (Indiqueu el percentatge, ex. 23,2 o 23,2%)

c)

Quantifiqueu el grau d'associació mostral entre ambdues variables mitjançant una mesura adient.

d)

És possible interpretar el coeficient anterior? Per què?

e)

Amb quina forma mercantil s'associen amb més intensitat els locals a peu de carrer? I els situats en centres comercials?

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

Juny 2019 - Exercici 3. Probabilitat d'infraccions independents

En controls de trànsit, s'observa que el 5% dels conductors aturats donen positiu en alcoholèmia ($A$) i que el 10% no duu cordat el cinturó de seguretat ($C$). Ambdues infraccions són estadísticament independents.

a)

Quin percentatge de conductors que no porten cinturó donarà positiu al control d'alcoholèmia?

%

b)

Quin percentatge de conductors aturats no comet cap de les dues infraccions?

%

c)

Quin percentatge comet almenys una de les dues infraccions?

%

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

Es disposa d'una mostra de locals comercials d'un municipi per estudiar si la superfície del local (en $\text{m}^2$) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL).

S'obté un primer gràfic de caixes i un model ANOVA inicial ( Anova1):

Juny 2019 - Exercici 4. Model binomial i aproximació normal en controls

Emprant les dades de l'exercici anterior sobre la infracció de cinturó ($p = 0{,}10$):

a)

Si un agent atura 5 conductors, quina és la probabilitat que com a mínim un no porti cordat el cinturó?

b)

Quina és l'esperança i la variància de la variable «nombre de conductors sense cinturó» en un grup de 5 aturats? Interpreteu aquests valors.

c)

Si l'agent atura 100 conductors, determineu el nombre màxim de conductors sense cinturó que trobarà amb una probabilitat del 10%.