Examen de Estadística i Optimització UDL 2016 · Juny

Problema 1 [0,5 punts]. Regressió lineal entre bugades i preu

Un establiment de bugaderia d'autoservei comercialitza paquets de sabó per rentar roba. Els paquets s'ofereixen per a 16, 32, 64 o 200 bugades, als imports de 4, 5, 6 i 9 euros respectivament.

a.

Dibuixeu el diagrama de dispersió que relacioni el preu amb el nombre de bugades. Existeix associació de tipus lineal entre ambdues variables? Aporteu un valor quantitatiu que fonamenti la conclusió.

b.

Segons la informació anterior, quin cost correspondria a un detergent per a 50 bugades? I per a un paquet de 100 bugades? Trobeu l'expressió analítica de la recta de regressió $r(x)$ que millor s'ajusta als punts i representeu-la unint els punts $(50, r(50))$ i $(100, r(100))$.

Valors de referència de la normal estàndard:

$p(N(0,1) \le 0{,}25) = 0{,}5987$

$p(N(0,1) \le 0{,}50) = 0{,}6915$

$p(N(0,1) \le 0{,}75) = 0{,}7734$

$p(N(0,1) \le 1{,}00) = 0{,}8413$

$p(N(0,1) \le 1{,}25) = 0{,}8944$

$p(N(0,1) \le 1{,}50) = 0{,}9332$

En una línia d'embotellament s'empra una màquina dispensadora que, en col·locar-hi un recipient buit, subministra un volum d'aigua que segueix un model normal $N(100, 20)$ ml (on la desviació típica és $\sigma = 20$ ml). Suposant que la densitat de l'aigua és d'1 g/ml, justifiqueu les respostes a les qüestions següents:

a)

Si el recipient buit té una massa de 50 g, quina llei de probabilitat regeix el pes d'una ampolla plena?

b)

Quina és la probabilitat que una ampolla plena superi els 160 g de pes?

c)

Quina és la distribució de probabilitat del pes d'una caixa amb sis ampolles plenes (negligint la massa de la caixa)?

d)

Quina és la distribució que segueix el nombre d'ampolles que cal omplir fins a observar-ne una amb un contingut inferior a 85 ml? Calculeu-ne el valor esperat i interpreteu el resultat obtingut.

Problema 3 (1 punt). Optimització d'una funció d'una variable

Es considera la família de funcions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida per:

$$f(x) = (x^2 + a)e^{ax}$$

a)

Quan el paràmetre val $a = -2$, determineu tots els extrems relatius i absoluts de $f(x)$ en l'interval tancat $[-2, 3]$.

b)

Trobeu, en funció del paràmetre $a \in \mathbb{R}$, tots els valors de $x \in \mathbb{R}$ en què la tangent a la corba $y = f(x)$ és horitzontal (paral·lela a l'eix d'abscisses). Indiqueu per a quins valors de $a \in \mathbb{R}$ no existeix cap punt amb aquesta propietat.

Problema 4 (1 punt). Extrems d'una funció de dues variables

Considereu la funció real de dues variables definida com:

$$f(x, y) = \ln(x^n y^m) - (x + y)^2$$

amb $n, m \ge 1$.

a.

Troba els punts crítics de $f(x, y)$.

b.

Calcula la matriu Hessiana de $f(x, y)$.

c.

Classifica els punts crítics trobats en el cas particular $n = m$.