Examen de Estadística i Optimització UDL 2016 · Juny

Problema 1 (2 punts). Control de qualitat en línia d'embotellament

En una línia de producció d'una embotelladora, una màquina s'encarrega de col·locar el tap i l'etiqueta a les ampolles que entren plenes. Es constata que el 2% de les ampolles presenta el tap mal posat, mentre que el 5% té l'etiqueta mal enganxada. Assumint que ambdós defectes són independents, responeu de forma raonada:

a.

Calculeu la probabilitat que una ampolla seleccionada a l'atzar sigui defectuosa (és a dir, que tingui el tap mal posat, l'etiqueta mal enganxada o totes dues coses).

b.

Si un operari comença a inspeccionar les ampolles segons surten de la màquina, a un ritme constant d'una ampolla cada cinc segons, quant de temps caldrà esperar de mitjana fins que detecti la primera ampolla defectuosa?

c.

Quina distribució de probabilitat regeix la variable que compta el nombre d'ampolles defectuoses en una caixa que en conté deu? Indiqueu la seva esperança matemàtica i descriviu el sentit que té aquesta xifra.

d.

Trobeu la probabilitat que en una caixa de deu unitats n'hi hagi menys de dues de defectuoses.

Problema 2 (1 punt). Optimització amb restricció lineal

Determineu dos nombres reals positius que sumin 8 tals que la suma del cub del primer més el quadrat del segon prengui el valor mínim possible.

Problema 3 (1 punt). Punts crítics d'una funció de dues variables

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = (x^2 - 2y^2)e^{x - y}$.

a.

Determineu les expressions de les derivades parcials de primer i de segon ordre de $f(x, y)$.

Derivades de primer ordre:

Derivades de segon ordre:

b.

Calculeu tots els punts crítics de la funció i classifiqueu-los segons la seva naturalesa (extrems relatius o punts de sella).

Primer punt crític:

Segon punt crític: