Examen de Álgebra UDL 2020 · Primer control - 23 d'octubre de 2020

Problema 1 (4 punts). Operacions, cardinals i partició d'un conjunt universal

Considerant el conjunt universal $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i els seus subconjunts $A = \{1, 3, 4\}$, $B = \{1, 4, 6\}$, $C = \{1, 3, 5\}$ i $D = \{2, 4, 6\}$, responeu als apartats següents:

a.

Trobeu els elements que formen els conjunts $R = A \cap \overline{B}$, $S = \overline{A} \cap B$, $V = A \cap B$ i $W = \overline{A \cup B}$.

b.

Verifiqueu si és vàlida la relació $|C \cup D| = |C| + |D|$. És aplicable aquesta igualtat per a qualsevol parell de conjunts arbitraris $X$ i $Y$? Argumenteu la resposta.

Sí

No

Sí

No

c.

Proveu que la col·lecció formada per $R, S, V$ i $W$ constitueix una partició de l'univers $E$.

Sí

No

Problema 2 (4 punts). Família d'intervals discrets de nombres naturals

Sigui el conjunt $A = \mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3, 4\}$ (on $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$) i es defineix la família de conjunts $\{A_i\}_{i \in I}$ amb índexs $I = \mathbb{N} \cup \{0\} = \{0, 1, 2, \dots\}$ tal que:

$$A_i = \{x \in \mathbb{N}: 2^i \cdot 5^{i+1} \le x < 2^{i+1} \cdot 5^{i+2}\}$$

a.

Expliciteu els conjunts $A_0$ i $A_1$ enumerant o descrivint clarament els seus valors límit.

b.

Analitzeu si la família $\{A_i\}_{i \in I}$ és una partició del conjunt $A$ o no.

Problema 3 (2 punts). Validesa d'enunciats sobre conjunts

Siguin $A$ i $B$ dos conjunts qualsevol en un univers $E$. Indiqueu si les afirmacions següents són certes o falses, tot aportant la demostració corresponent (o un contraexemple si fos falsa):

a.

$A \subseteq B \implies \overline{A} \subseteq \overline{B}$

b.

$\overline{B \setminus A} = A \cup \overline{B}$