Examen de Álgebra UDL 2020 · Primer Parcial. Novembre 2020

Problema 1 (5 punts). Estudi d'una aplicació

Es considera la funció següent:

$$\begin{aligned} f: \mathbb{Q} &\longrightarrow \mathbb{Q} \\ x &\longmapsto x^2 + x - 2 \end{aligned}$$

a.

Esbrineu raonadament si $f$ és una aplicació injectiva. [1 punt]

b.

Determineu si $f$ és exhaustiva (suprajectiva). [1 punt]

c.

Calculeu la imatge de la funció, $\operatorname{Im}(f)$. [1 punt]

d.

Trobeu el conjunt antiimatge $f^{-1}(\{-3, 0, 4\})$. [1 punt]

e.

Determineu l'expressió analítica de la composició $f \circ f$. [1 punt]

Problema 2 (5 punts). Matrius tridiagonals i discussió de sistemes

Sigui $A_n$ una matriu quadrada d'ordre $n$ amb coeficients definits de la manera següent:

$$a_{ij} = \begin{cases} 2 & \text{si } i = j, \\ 1 & \text{si } i = j + 1 \text{ o bé } i = j - 1, \\ 0 & \text{altrament.} \end{cases}$$

a.

[1.5 punts] Escriviu les matrius $A_2$, $A_3$ i $A_4$, calculeu els seus determinants i digueu quin és el rang de cadascuna d'elles.

$\det(A_2) =$

$\mathrm{rang}(A_2) =$

$\det(A_3) =$

$\mathrm{rang}(A_3) =$

$\det(A_4) =$

$\mathrm{rang}(A_4) =$

b.

[1 punt] Calculeu la matriu inversa $A_3^{-1}$.

Escriviu els coeficients enters de la matriu adjunta transposada $(\mathrm{Adj}(A_3))^t$ multiplicada pel factor $\frac{1}{4}$:

$A_3^{-1} = \frac{1}{4} ($

$)$

c.

[1 punt] Escriviu explícitament la matriu $A_n$.

Indiqueu els valors dels coeficients de la matriu $A_n$:

Elements de la diagonal principal ($i = j$):

Elements de la superdiagonal i subdiagonal ($|i - j| = 1$):

Resta d'elements ($|i - j| > 1$):

d.

[1.5 punts] Discutiu i resoleu, quan sigui possible, el sistema d'equacions següent segons els valors del paràmetre $a$:

$$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ ax + y + (a-1)z = a \\ x + y + z = a + 1 \end{cases}$$

Valor del paràmetre que anul·la el determinant de la matriu de coeficients ($a$):

Solució única del sistema en funció de $a$ (quan $a \neq 1$):

$x =$

$y =$

$z =$