Problema 3 · Álgebra UDL 2020

a. Validesa de l'afirmació $A \subseteq B \implies \overline{A} \subseteq \overline{B}$

Solución: Falsa

a. Demostració o contraexemple per a $A \subseteq B \implies \overline{A} \subseteq \overline{B}$

Solución: Contraexemple: considerem l'univers $E = \{1, 2\}$ i els subconjunts $A = \{1\}$ i $B = \{1, 2\}$. És clar que $A \subseteq B$. Calculem els complementaris: - $\overline{A} = E \setminus A = \{2\}$ - $\overline{B} = E \setminus B = \emptyset$ Com que $\{2\} \not\subseteq \emptyset$, es té $\overline{A} \not\subseteq \overline{B}$.

b. Validesa de l'afirmació $\overline{B \setminus A} = A \cup \overline{B}$

Solución: Certa

b. Demostració per a $\overline{B \setminus A} = A \cup \overline{B}$

Solución: Recordem que la diferència de dos conjunts es pot escriure en funció de la intersecció i el complementari com $B \setminus A = B \cap \overline{A}$. Prenent el complementari d'aquesta expressió i aplicant les lleis de De Morgan: $$\overline{B \setminus A} = \overline{B \cap \overline{A}} = \overline{B} \cup \overline{\overline{A}}$$ Com que el complementari del complementari és el mateix conjunt ($\overline{\overline{A}} = A$) i la unió és commutativa: $$\overline{B} \cup A = A \cup \overline{B}$$ Per tant, queda demostrat que $\overline{B \setminus A} = A \cup \overline{B}$.