Exercici 2 · Càlcul UAB Juny 2023

Tema: Equacions diferencials ordinàries · Del examen Juny (2023)

Enunciado

Exercici 2 (10 punts). Equacions diferencials ordinàries

Resoleu els següents problemes sobre equacions diferencials:

a.

Suposem que la taxa de variació d'una població és directament proporcional a la quantitat d'individus presents en cada instant. Si la població necessita 2 hores per duplicar-se, determineu el temps necessari perquè es tripliqui.

b.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial ordinària següent:

y′−cos⁡(2x)y=cos⁡(2x)y' - \cos(2x)y = \cos(2x)

c.

Determineu la solució particular de l'equació diferencial ordinària:

y′′−4y′+13y=e−xy'' - 4y' + 13y = e^{-x}

que satisfà les condicions inicials y(0)=1y(0) = 1 i y′(0)=0y'(0) = 0.

Indicació: cerqueu una solució particular de la forma yp=Ae−xy_p = Ae^{-x}, on AA és una constant.

Enunciado: Exercici 2 · Càlcul UAB Juny 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Si la població necessita 2 hores per duplicar-se, determineu el temps necessari perquè es tripliqui.

Solución: 3,173{,}17 hores / 2ln⁡(3)ln⁡(2)\frac{2\ln(3)}{\ln(2)} hores

b. Trobeu la solució general de l'equació diferencial ordinària següent: y′−cos⁡(2x)y=cos⁡(2x)y' - \cos(2x)y = \cos(2x)

Solución: y(x)=Ce12sin⁡(2x)−1y(x) = C e^{\frac{1}{2}\sin(2x)} - 1

c. Determineu la solució particular de l'equació diferencial ordinària y′′−4y′+13y=e−xy'' - 4y' + 13y = e^{-x} que satisfà les condicions inicials y(0)=1y(0) = 1 i y′(0)=0y'(0) = 0.

Solución: y(x)=e2x(1718cos⁡(3x)−1118sin⁡(3x))+118e−xy(x) = e^{2x}\left(\frac{17}{18}\cos(3x) - \frac{11}{18}\sin(3x)\right) + \frac{1}{18}e^{-x}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 2 · Juny 2023

Más ejercicios de Equacions diferencials ordinàries