Examen de Matemàtiques UAB 2024 · Segon examen parcial - Gener 2024

Considerem un model lineal estructurat en dues classes d'edat (individus joves i adults). Les dades demogràfiques del sistema indiquen una taxa de fertilitat en adults de $\beta = 2$, una probabilitat de supervivència juvenil (els que sobreviuen passen a ser adults al període següent) de $\alpha_1 = 3/4$ i una taxa de supervivència anual per a la classe adulta de $\alpha_2 = 1/2$. Partint d'una població inicial composta per 4 individus joves i cap adult:

a.

Determineu quina serà la distribució de la densitat poblacional transcorregut un any.

b.

Calculeu la taxa de creixement (o decreixement) asimptòtic a llarg termini, així com la raó o proporció estable entre joves i adults.

En un tractament mèdic per infusió contínua (gota a gota), la concentració sanguínia d'un fàrmac $x(t)$ es depura de forma proporcional a la quantitat present. La dinàmica temporal satisfà l'equació diferencial següent:

$$\frac{dx}{dt} = -ax + b$$ on $a$ i $b$ són constants estrictament positives ($a$ representa la taxa relativa de depuració o eliminació i $b$ la velocitat d'administració).

a.

Trobeu els punts d'equilibri d'aquesta equació diferencial.

c.

Calculeu la concentració que s'assoleix asimptòticament a llarg termini ($t \to \infty$) i feu una descripció qualitativa del perfil gràfic de $x(t)$.

En un tractament mèdic per infusió contínua (gota a gota), la concentració sanguínia d'un fàrmac $x(t)$ es depura de forma proporcional a la quantitat present. La dinàmica temporal satisfà l'equació diferencial següent:

$$\frac{dx}{dt} = -ax + b$$ on $a$ i $b$ són constants estrictament positives ($a$ representa la taxa relativa de depuració o eliminació i $b$ la velocitat d'administració).

b.

Deduïu la funció que descriu la concentració $x(t)$ en qualsevol instant des que s'inicia la perfusió, sabent que en el moment inicial no hi ha fàrmac a la sang ($x(0) = 0$).

Pregunta 3. Dinàmica i balanç de massa d'un contaminant en una bassa

En una bassa poc profunda, que es considera perfectament homogènia i que disposa d'un volum inicial de $1200\text{ m}^3$ d'aigua, s'hi aboquen sobtadament $10\text{ g}$ d'un contaminant molt soluble a l'instant $t = 0$. A través d'una canonada de desguàs s'evacua aigua amb un cabal continu de $100\text{ m}^3/\text{dia}$. Paral·lelament, l'aigua pura s'evapora a una taxa de $20\text{ m}^3/\text{dia}$.

a.

Justifiqueu detalladament que l'equació diferencial i la condició inicial que governen els grams de contaminant $x(t)$ a la bassa per a $t < 10$ dies són:$$\frac{dx}{dt} = -100\frac{x(t)}{1200 - 120t}, \quad x(0) = 10$$

Pregunta 3. Dinàmica i balanç de massa d'un contaminant en una bassa

En una bassa poc profunda, que es considera perfectament homogènia i que disposa d'un volum inicial de $1200\text{ m}^3$ d'aigua, s'hi aboquen sobtadament $10\text{ g}$ d'un contaminant molt soluble a l'instant $t = 0$. A través d'una canonada de desguàs s'evacua aigua amb un cabal continu de $100\text{ m}^3/\text{dia}$. Paral·lelament, l'aigua pura s'evapora a una taxa de $20\text{ m}^3/\text{dia}$.

b.

Resoleu aquest problema de condició inicial i calculeu la quantitat de substància contaminant que restarà a la bassa en complir-se exactament una setmana.

Indicació: Tingueu en compte que la funció $f(t) = \frac{5}{6}\ln(1200 - 120t)$ té per derivada $f'(t) = -\frac{100}{1200 - 120t}$.