Pregunta 3 - Balanç de massa i modelització · Matemàtiques UAB 2024

a. Justifiqueu detalladament que l'equació diferencial i la condició inicial que governen els grams de contaminant x(t) a la bassa per a t < 10 dies són dx/dt = -100 * x(t)/(1200 - 120t), x(0) = 10

Solución: La pèrdua de contaminant només es produeix a través del desguàs, ja que l'evaporació elimina exclusivament aigua lliure de solut. El volum total de solució en la bassa en funció del temps $t$ (en dies) es redueix tant pel desguàs com per evaporació: $$V(t) = V_0 - (Q_{\text{desguàs}} + Q_{\text{evap}})t = 1200 - (100 + 20)t = 1200 - 120t\text{ m}^3$$ Atès que la barreja és homogènia, la concentració de solut en qualsevol instant és $C(t) = \frac{x(t)}{V(t)} = \frac{x(t)}{1200 - 120t}\text{ g/m}^3$. La taxa de canvi de la massa de contaminant correspon exclusivament al cabal de sortida del desguàs multiplicat per la seva concentració: $$\frac{dx}{dt} = -Q_{\text{desguàs}} \cdot C(t) = -100\frac{x(t)}{1200 - 120t}$$ Com que l'abocament inicial conté $10\text{ g}$ a $t = 0$, la condició de contorn és $x(0) = 10$.