Exercici 1 · Matemàtiques UAB 2023

Exercici 1 (4 punts). Dinàmica de poblacions estructurada per edats

Considerem una població estructurada en dos estadis o classes d'edat: individus joves (infèrtils) i individus adults (fèrtils). Cada adult produeix una mitjana de 4 nous individus joves cada any. A més, un 40% dels joves aconsegueix sobreviure i madurar cap a la classe adulta, mentre que el 60% dels adults sobreviu d'un any per l'altre.

a)

Determineu la matriu quadrada d'ordre dos $A$ que satisfà la relació:

$$\begin{pmatrix} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$$

on $p_n$ i $q_n$ indiquen, respectivament, el nombre d'individus joves i adults presents l'any $n$.

b)

Si es parteix d'una població inicial de 10 individus joves i 10 individus adults, determineu quants joves hi haurà al cap d'un any i quants n'hi haurà transcorreguts dos anys.

c)

Trobeu els valors propis i els vectors propis associats a la matriu $A$.

d)

A llarg termini, s'espera que la població creixi? Amb quin ritme ho farà? Quina proporció de joves per adult s'assolirà amb el pas del temps?

Sí

No

% per any