Exercici 3 - Variables separables i límit · Matemàtiques UAB 2023

Exercici 3. Modelització de la densitat poblacional i punts d'equilibri

La densitat $x(t)$ d'una determinada espècie que es troba sotmesa a una extracció o captura a ritme constant (per exemple, per causa de la pesca) s'ajusta, en les unitats corresponents, a l'equació diferencial:

$$\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{10}(x - 9)(x - 1)$$

b)

Calculeu l'expressió explícita de la densitat per a temps $t > 0$ si inicialment la densitat és $x(0) = 2$.

Indicació: feu servir la descomposició en fraccions simples:$$\frac{1}{(x-9)(x-1)} = \frac{1}{8}\left(\frac{1}{x-9} - \frac{1}{x-1}\right)$$

c)

Determineu el valor límit d'aquesta densitat quan el temps tendeix a l'infinit ($t \to \infty$).