Examen de Matemàtiques UAB 2020 · segon parcial gener 2020

Exercici 1. Model genètic mitjançant equació diferencial

En genètica de poblacions s'empra l'equació diferencial següent per a descriure com s'estén un al·lel més avantatjós $A$ enfront d'un altre menys apte $a$ dins d'una comunitat haploide:

$$\frac{dp}{dt} = sp(1 - p)$$

La variable $p = p(t)$ indica la proporció d'individus portadors de l'al·lel $A$ al llarg del temps (amb $0 < p(t) < 1$), mentre que el paràmetre $s$ (amb $0 < s < 1$) mesura l'avantatge selectiu de $A$ respecte de $a$. Responeu a les qüestions següents:

a.

Trobeu la primitiva indefinida $\int \frac{dx}{x(1-x)}$.

b.

Resoleu de forma analítica l'equació diferencial per aïllar la funció $p(t)$.

c.

Quin percentatge d'individus que contenen l'al·lel $A$ hi ha en el moment en què $p(t)$ presenta un punt d'inflexió?

%

d.

A partir de l'expressió explícita obtinguda per a $p(t)$, deduïu de manera justificada que $\lim_{t \to +\infty} p(t) = 1$, confirmant la fixació a llarg termini de l'al·lel més adaptatiu.

Exercici 2. Dinàmica comparada de dues poblacions exponencials

Dues poblacions que coexisteixen en un mateix hàbitat tenen grandàries descrites per les funcions $y_1(t)$ i $y_2(t)$, on el temps $t$ s'expressa en anys. Ambdues segueixen una dinàmica de creixement exponencial amb taxes respectives de $0{,}55$ i $0{,}4$, partint de quantitats inicials $y_1(0) = 20$ i $y_2(0) = 30$. Es defineix la funció diferència $y(t) = y_2(t) - y_1(t)$.

a)

Escriviu l'expressió matemàtica de $y_1(t)$ i $y_2(t)$ en funció del temps.

b)

Determineu el valor de la diferència $y(t)$ al cap de dos anys.

c)

Trobeu en quin instant de temps s'iguala la grandària de les dues poblacions ($y(t) = 0$).

d)

Dibuixeu un gràfic de $y(t)$ per a l'interval $t \in [0, 3]$ assenyalant creixement, decreixement i extrems relatius, i feu una descripció de l'evolució demogràfica durant aquest període. Podeu prendre com a guia la representació gràfica següent:

Exercici 3. Model matricial de població per edats

Una població es classifica en dos estadis de vida: joves ($j_n$) i adults ($a_n$) al pas de temps discret $n$. Els efectius inicials són $j_0 = 200$ i $a_0 = 40$, i l'evolució temporal està regida pel model:$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu els valors propis de la matriu $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$ i trobeu una base de vectors propis associada.

b)

Escriviu el vector d'estat inicial $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix}$ com a combinació lineal d'aquesta base de vectors propis i deduïu el nombre d'individus joves i adults al temps $n = 18$ ($j_{18}$ i $a_{18}$).

c)

Calculeu la raó asimptòtica entre les dues classes d'edat: $\lim_{n\to\infty} \frac{j_n}{a_n}$.

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa. En tots els casos, justifiqueu detalladament la resposta.

a.

La integral impròpia $\int_{1/3}^{+\infty} \frac{3\,dx}{x^3}$ és infinita.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa. En tots els casos, justifiqueu detalladament la resposta.

b.

La funció $y(x) = e^{\tan(x/2)}$ és solució de l'equació diferencial $y'(x) \sin(x) = y(x) \ln(y(x))$ i compleix la condició $y(\pi) = e$. (Nota: $\ln$ denota el logaritme natural).

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa. En tots els casos, justifiqueu detalladament la resposta.

c. La funció $y(t)$ és solució de l'equació logística $y'/y = r(1 - y/K)$ amb $y(0) = 30$ i capacitat de càrrega $K = 50$. Aleshores, existeix un valor $t_0 > 0$ pel qual el punt $(t_0, y(t_0))$ és un punt d'inflexió.

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les afirmacions següents si és certa o falsa. En tots els casos, justifiqueu detalladament la resposta.

d.

La matriu següent és invertible:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -8 & 0 \end{pmatrix}$$