Exercici 3 · Matemàtiques UAB 2020

Exercici 3. Model matricial de població per edats

Una població es classifica en dos estadis de vida: joves ($j_n$) i adults ($a_n$) al pas de temps discret $n$. Els efectius inicials són $j_0 = 200$ i $a_0 = 40$, i l'evolució temporal està regida pel model:$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu els valors propis de la matriu $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$ i trobeu una base de vectors propis associada.

b)

Escriviu el vector d'estat inicial $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix}$ com a combinació lineal d'aquesta base de vectors propis i deduïu el nombre d'individus joves i adults al temps $n = 18$ ($j_{18}$ i $a_{18}$).

c)

Calculeu la raó asimptòtica entre les dues classes d'edat: $\lim_{n\to\infty} \frac{j_n}{a_n}$.