Exercici 1 · Matemàtiques UAB 2020

Tema: Equacions diferencials de variables separables i problemes de valor inicial · Del examen Examen segon parcial gener 2020 (2020)

Enunciado

Exercici 1. Model genètic mitjançant equació diferencial

En genètica de poblacions s'empra l'equació diferencial següent per a descriure com s'estén un al·lel més avantatjós AA enfront d'un altre menys apte aa dins d'una comunitat haploide:

dpdt=sp(1−p)\frac{dp}{dt} = sp(1 - p)

La variable p=p(t)p = p(t) indica la proporció d'individus portadors de l'al·lel AA al llarg del temps (amb 0<p(t)<10 < p(t) < 1), mentre que el paràmetre ss (amb 0<s<10 < s < 1) mesura l'avantatge selectiu de AA respecte de aa. Responeu a les qüestions següents:

a.

Trobeu la primitiva indefinida ∫dxx(1−x)\int \frac{dx}{x(1-x)}.

b.

Resoleu de forma analítica l'equació diferencial per aïllar la funció p(t)p(t).

c.

Quin percentatge d'individus que contenen l'al·lel AA hi ha en el moment en què p(t)p(t) presenta un punt d'inflexió?

%

d.

A partir de l'expressió explícita obtinguda per a p(t)p(t), deduïu de manera justificada que lim⁡t→+∞p(t)=1\lim_{t \to +\infty} p(t) = 1, confirmant la fixació a llarg termini de l'al·lel més adaptatiu.

Enunciado: Exercici 1 · Matemàtiques UAB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Trobeu la primitiva indefinida ∫dxx(1−x)\int \frac{dx}{x(1-x)}.

Solución: ln⁡(x1−x)+C\ln\left(\frac{x}{1-x}\right) + C / ln⁡(x)−ln⁡(1−x)+C\ln(x) - \ln(1-x) + C

b. Resoleu de forma analítica l'equació diferencial per aïllar la funció p(t)p(t).

Solución: p(t)=Kest1+Kestp(t) = \frac{K e^{st}}{1 + K e^{st}}

c. Quin percentatge d'individus que contenen l'al·lel AA hi ha en el moment en què p(t)p(t) presenta un punt d'inflexió?

Solución: 50

d. A partir de l'expressió explícita obtinguda per a p(t)p(t), deduïu de manera justificada que lim⁡t→+∞p(t)=1\lim_{t\to+\infty} p(t) = 1, confirmant la fixació a llarg termini de l'al·lel més adaptatiu.

Solución: Prenent el límit quan t→+∞t \to +\infty, com que s>0s > 0, est→+∞e^{st} \to +\infty i per tant lim⁡t→+∞p(t)=lim⁡t→+∞Kest1+Kest=lim⁡t→+∞11Kest+1=1\lim_{t\to+\infty} p(t) = \lim_{t\to+\infty} \frac{K e^{st}}{1 + K e^{st}} = \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{\frac{1}{K e^{st}} + 1} = 1.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 3 - Variables separables i límit · 2023 · Problema 1 · 2019 ›

Más ejercicios de Equacions diferencials de variables separables i problemes de valor inicial