Exercici 2 · Matemàtiques UAB 2020

a. Escriviu l'expressió matemàtica de $y_1(t)$ en funció del temps.

Solución: $20e^{0{,}55t}$

a. Escriviu l'expressió matemàtica de $y_2(t)$ en funció del temps.

Solución: $30e^{0{,}4t}$

b. Determineu el valor de la diferència $y(t)$ al cap de dos anys.

Solución: $6{,}683$ / $30e^{0{,}8} - 20e^{1{,}1}$

c. Trobeu en quin instant de temps s'iguala la grandària de les dues poblacions ($y(t) = 0$).

Solución: $2{,}703$ / $\frac{\ln(1{,}5)}{0{,}15}$

d. Dibuixeu un gràfic de $y(t)$ per a l'interval $t \in [0, 3]$ assenyalant creixement, decreixement i extrems relatius, i feu una descripció de l'evolució demogràfica durant aquest període.

Solución: Valor inicial $y(0) = 10$. Creixement a $[0; 0{,}58)$ fins al màxim relatiu a $t \approx 0{,}58$ amb $y(0{,}58) \approx 10{,}318$. Decreixement a $(0{,}58; 3]$. S'igualen a $t \approx 2{,}703$ anys i a partir d'aleshores $y_1(t) > y_2(t)$.

d. Gràfic de $y(t)$ per a l'interval $t \in [0, 3]$ assenyalant creixement, decreixement i extrems relatius.

Solución: Gràfica de la funció $y(t)$ a l'interval $[0, 3]$ partint del punt $(0, 10)$, amb un màxim a $(0{,}58; 10{,}318)$, tallant l'eix d'abscisses a $t \approx 2{,}703$ i decreixent fins a $y(3) \approx -4{,}49$.