Examen de Matemáticas UAB 2020 · segon parcial de Matemàtiques (24 de gener de 2020)

1. L'equació diferencial

En genètica de poblacions s'empra el model diferencial següent per analitzar la propagació d'un al·lel amb major eficàcia biològica ($A$) en una població haploide respecte d'un al·lel menys adaptat ($a$):

$$\frac{dp}{dt} = sp(1 - p)$$

En aquesta formulació, $p = p(t)$ representa la freqüència relativa de l'al·lel $A$ al llarg del temps (amb la qual cosa $0 < p(t) < 1$ és la fracció d'individus portadors de $A$) i el paràmetre $0 < s < 1$ és un coeficient constant que quantifica l'avantatge selectiu de $A$ enfront de $a$.

a.

Trobeu la primitiva indefinida $\int \frac{dx}{x(1-x)}$.

b.

Resoleu l'equació diferencial per variables separades i determineu l'expressió explícita de la funció $p(t)$.

$p(t) =$

c.

Quin és el percentatge de la població que posseeix l'al·lel $A$ en l'instant en què la corba de $p(t)$ presenta un punt d'inflexió?

%

d.

Atès que l'al·lel $A$ confereix un valor adaptatiu superior al de $a$, biològicament s'espera que a llarg termini tota la població acabi fixant aquest al·lel. Demostreu, emprant la solució explícita de $p(t)$, que efectivament $\lim_{t\to\infty} p(t) = 1$.

2. Creixement exponencial de dues poblacions

Siguin $y_1(t)$ i $y_2(t)$ el nombre d'individus de dues poblacions que comparteixen un mateix hàbitat, cadascuna de les quals evoluciona segons un model malthusià o de creixement exponencial amb taxes respectives de $0.55$ i $0.4$. La variable temporal $t$ es mesura en anys, i les poblacions inicials són $y_1(0) = 20$ i $y_2(0) = 30$. Es defineix la diferència poblacional com a $y(t) = y_2(t) - y_1(t)$.

a.

Determineu les funcions explícites que descriuen $y_1(t)$ i $y_2(t)$.

b.

Calculeu el valor que pren la diferència $y(t)$ al cap de dos anys ($t = 2$).

c.

Troba l'instant de temps en què la diferència $y(t)$ s'anul·la.

d.

Feu un esbós gràfic de la funció diferència $y(t)$ en l'interval $[0, 3]$ indicant clarament els trams de creixement i decreixement així com els seus extrems relatius. Descriviu detalladament com evoluciona la relació entre totes dues poblacions durant aquests tres primers anys.

3. Estructura matricial de població

Considerem una població estructurada en dues classes d'edat: joves i adults. Denotem per $j_n$ i $a_n$ els efectius respectius de joves i adults al pas de temps $n$. Es coneix que la població inicial és $j_0 = 200$ i $a_0 = 40$, i que la dinàmica d'evolució temporal ve donada pel sistema matricial:

$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$$ a.

Calculeu els valors propis de la matriu de transició $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$ i trobeu una base formada per vectors propis associats.

b.

Escriviu el vector d'estat inicial $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix}$ com a combinació lineal dels vectors de la base de vectors propis i utilitzeu aquesta descomposició per calcular el nombre exacte de joves i adults al temps $n = 18$ ($j_{18}$ i $a_{18}$).

c.

Determineu la proporció asimptòtica entre joves i adults, és a dir, el límit $\lim_{n \to \infty} \frac{j_n}{a_n}$.

4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de forma justificada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

a.

La integral impròpia $\int_{1/3}^{+\infty} \frac{3}{x^3}\,dx$ és infinita.

Certa

Falsa

4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de forma justificada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

b.

La funció $y(x) = e^{\tan(x/2)}$ és una solució de l'equació diferencial $y'(x) \sin(x) = y(x) \log y(x)$ i compleix la condició $y(\pi) = e$. (Nota: $\log$ fa referència al logaritme natural o neperià).

Certa

Falsa

c.

Una funció $y(t)$ que resol l'equació logística $y'/y = r(1 - y/K)$, amb condició inicial $y(0) = 30$ i capacitat de càrrega $K = 50$, té un punt d'inflexió en algun instant positiu $t_0 > 0$ tal que $(t_0, y(t_0))$ és el punt d'inflexió.

Certa

Falsa

4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de forma justificada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

d.

La matriu real $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -8 & 0 \end{pmatrix}$$ és invertible.

Certa

Falsa