Problema 3 · Matemáticas UAB 2020

3. Estructura matricial de població

Considerem una població estructurada en dues classes d'edat: joves i adults. Denotem per $j_n$ i $a_n$ els efectius respectius de joves i adults al pas de temps $n$. Es coneix que la població inicial és $j_0 = 200$ i $a_0 = 40$, i que la dinàmica d'evolució temporal ve donada pel sistema matricial:

$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$$ a.

Calculeu els valors propis de la matriu de transició $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$ i trobeu una base formada per vectors propis associats.

b.

Escriviu el vector d'estat inicial $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix}$ com a combinació lineal dels vectors de la base de vectors propis i utilitzeu aquesta descomposició per calcular el nombre exacte de joves i adults al temps $n = 18$ ($j_{18}$ i $a_{18}$).

c.

Determineu la proporció asimptòtica entre joves i adults, és a dir, el límit $\lim_{n \to \infty} \frac{j_n}{a_n}$.